mathematica.gr


https://www.mathematica.gr/forum/

Πρώτο ψηφίο ίσο με 1

https://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=170&t=56035

Σελίδα 1 από 1

Πρώτο ψηφίο ίσο με 1

Δημοσιεύτηκε: Τετ Οκτ 19, 2016 4:37 pm
από Demetres
Δίνεται ένας θετικός ακέραιος. Ισχύει ότι μπορούμε να τον πολλαπλασιάσουμε με έναν από τους αριθμούς 1,2,3,4 ή 5 ώστε το αποτέλεσμα να ξεκινάει από το ψηφίο 1;

[Υπενθυμίζω ότι πρώτα αφήνουμε να την δοκιμάσουν τα πιο μικρά μέλη.]

Re: Πρώτο ψηφίο ίσο με 1

Δημοσιεύτηκε: Τετ Οκτ 19, 2016 10:04 pm
από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Αν ο αριθμός ξεκινά από 1, τότε προφανώς το γινόμενο με το 1 θα δώσει αριθμό που ξεκινά με 1.

Σε περίπτωση που ο αριθμός ξεκινά με το 2, είναι δηλαδή της μορφής \overline{2x_1x_2...x_n}, τότε το γινόμενο με το 5 είναι: 10^{n+1}\leq 5\cdot \overline{2x_1x_2...x_n}<5\cdot 3\cdot 10^{n}<2\cdot 10^{n+1}, που σημαίνει ότι το γινόμενο ξεκινά με 1.

Με αρκετά παρόμοιο τρόπο προκύπτουν ότι:

10^{n+1}\leq 5\cdot \overline{3x_1x_2...x_n}<5\cdot 4\cdot 10^{n}=2\cdot 10^{n+1}

10^{n+1}\leq 3\cdot \overline{4x_1x_2...x_n}<3\cdot 5\cdot 10^{n}<2\cdot 10^{n+1}

10^{n+1}\leq 3\cdot \overline{5x_1x_2...x_n}<3\cdot 6\cdot 10^{n}<2\cdot 10^{n+1}

10^{n+1}\leq 2\cdot \overline{6x_1x_2...x_n}<2\cdot 7\cdot 10^{n}<2\cdot 10^{n+1}

10^{n+1}\leq 2\cdot \overline{7x_1x_2...x_n}<2\cdot 8\cdot 10^{n}<2\cdot 10^{n+1}

10^{n+1}\leq 2\cdot \overline{8x_1x_2...x_n}<2\cdot 9\cdot 10^{n}<2\cdot 10^{n+1}

10^{n+1}\leq 2\cdot \overline{9x_1x_2...x_n}<2\cdot 10\cdot 10^{n}=2\cdot 10^{n+1}

Άρα ισχύει σε όλες τις περιπτώσεις!

Re: Πρώτο ψηφίο ίσο με 1

Δημοσιεύτηκε: Τετ Οκτ 19, 2016 10:06 pm
από JimNt.
Demetres έγραψε:Δίνεται ένας θετικός ακέραιος. Ισχύει ότι μπορούμε να τον πολλαπλασιάσουμε με έναν από τους αριθμούς 1,2,3,4 ή 5 ώστε το αποτέλεσμα να ξεκινάει από το ψηφίο 1;

[Υπενθυμίζω ότι πρώτα αφήνουμε να την δοκιμάσουν τα πιο μικρά μέλη.]
Συμβολίζουμε με A(x) το αρχικό ψηφίο του θετικού ακεραίου x. Έστω a ο δεδομένος αριθμός και n το πλήθος των ψηφίων του.
Έστω y,z,w,.. τα ψηφία του αριθμού και c ∈ [1,2,3,4]. Τότεac =(10^{n-1}y+10^{n-2}z+10^{n-3}w+ ...)c. Προφανώς ισχύειA(a)= A((10^{n-1}y+10^{n-2}z)c). Αν zc<10 και Α(yc)=1, τότε ο αριθμός πληροί τις προϋποθέσεις της άσκησης ("δεν έχουμε κρατούμενο που αυξάνει το ψηφίο στην θέση n "). Αν είναι όμως zc \ge 10 ("εχουμε κρατούμενο που μεταβάλλει το ψηφίο που είναι στην θέση n "), τότε μπορούμε στα σίγουρα (για να μην μπλεχτούμε σε πράξεις) με yc > 10 και A(yc)= 1 να δείξουμε ότι A(a)=1, καθώς, έπεται, αφού έχει στο ψηφίο των n+1 το 1 ("έχουμε κρατούμενο που μεταβάλλει το ψηφίο των n+1άδων").
Διακρίνουμε τις περιπτώσεις του A(a) και δουλέυουμε με στόχο το γινόμενο A(a)c να είναι > 10 και A(ac)= 1.
1. A(a)=1, τότε πολ/οντας με 1 προκύπτει ο b=a \Leftrightarrow A(b)=A(a)=1 .
2. A(a)=2, τότε πολ/οντας με 5 προκύπτει ο b με A(b)=1
3. A(a)=3, τότε πολ/οντας με 4 προκύπτει ο b με A(b)=1
4. A(a)=4, τότε πολ/οντας με 3 προκύπτει ο b με A(b)=1
5. A(a)=5, τότε πολ/οντας με 2 προκύπτει ο b με A(b)=1
6. A(a)=6, τότε πολ/οντας με 3 προκύπτει ο b με A(b)=1
7. A(a)=7, τότε πολ/οντας με 2 προκύπτει ο b με A(b)=1
8. A(a)=8, τότε πολ/οντας με 2 προκύπτει ο b με A(b)=1
9. A(a)=9, τότε πολ/οντας με 2 προκύπτει ο b με A(b)=1
Και η δεδομένη πρόταση απεδείχθη.

Θα ήθελα να απολογηθώ για την πενιχρή έκφραση.

Re: Πρώτο ψηφίο ίσο με 1

Δημοσιεύτηκε: Τετ Οκτ 19, 2016 10:26 pm
από Demetres
JimNt. έγραψε: Θα ήθελα να απολογηθώ για την πενιχρή έκφραση.
Εντάξει αλλά σιγά σιγά πρέπει να βελτιωθεί και αυτό. Το 48ώρο που βάλαμε δίνει περισσότερο περιθώριο να παίξετε πριν αναλάβουν δράση τα μεγάλα «παιδιά».
Όλοι οι χρόνοι είναι UTC+03:00
Σελίδα 1 από 1
Powered by phpBB® Forum Software © phpBB Limited
https://www.phpbb.com/