mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 21, 2018 8:06 pm**

Με

συμβολίζουμε το άθροισμα των ψηφίων ενός φυσικού αριθμού

. Για παράδειγμα s(10002)=3

.

Να βρεθούν οι φυσικοί αριθμοί

με την ιδιότητα n+s(n)+s(s(n))=999

.

Ας την αφήσουμε 24 ώρες στους μαθητές. Δεν πρέπει να δυσκολέψει κανέναν.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 21, 2018 9:07 pm**

Έχουμε $999\geq n$ , $27\geq s(n)$ , $10\geq s(s(n))$ . Έχουμε επίσης ότι $s(n)+s(s(n))\leq 37$ $\Leftrightarrow n\geq 962$ , άρα $999\geq n\geq 962$ . Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:
$n\equiv 0 mod9$ , συνεπώς s(n)

=27

s(n)

, και

. Αν

τότε

. Αν

τότε

το οποίο απορρίπτεται λόγω του s(n)=27.

$n\not\equiv 0 mod9$ . Τότε $s(n)\not\equiv 0 mod9, s(s(n))\not\equiv 0 mod9$ . Θέτουμε $n\equiv a mod9$ , τότε $s(s(n))\equiv a mod 9, s(n)\equiv amod9$ με $a\leq 8$ . Με πρόσθεση κατά μέλη, και λόγω του ορισμού των ισουπόλοιπων αριθμών έχουμε ότι 3/333-a