mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Αύγ 26, 2020 8:32 am**

Δύο οδηγοί , ο Αργός και ο Βιαστικός , οι οποίοι οδηγούν με σταθερές ταχύτητες ( αλλά ο Βιαστικός με ταχύτητα κατά

30km/h

μεγαλύτερη εκείνης του Αργού ) , κατευθύνονται ο καθένας προς την πόλη του άλλου . Αν ξεκινήσουν

ταυτόχρονα θα συναντηθούν σε σημείο

, το οποίο βρίσκεται σε απόσταση 60km

από το μέσο

της διαδρομής .

Αν ο αργός ξεκινήσει 70min

νωρίτερα , τότε θα συναντηθούν στο μέσο . Πόση είναι η απόσταση των δύο πόλεων ;

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Αύγ 26, 2020 6:57 pm**

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 26, 2020 8:32 am
Δύο οδηγοί , ο Αργός και ο Βιαστικός , οι οποίοι οδηγούν με σταθερές ταχύτητες ( αλλά ο Βιαστικός με ταχύτητα κατά

μεγαλύτερη εκείνης του Αργού ) , κατευθύνονται ο καθένας προς την πόλη του άλλου . Αν ξεκινήσουν

ταυτόχρονα θα συναντηθούν σε σημείο , το οποίο βρίσκεται σε απόσταση από το μέσο της διαδρομής .

Αν ο αργός ξεκινήσει νωρίτερα , τότε θα συναντηθούν στο μέσο . Πόση είναι η απόσταση των δύο πόλεων ;

: Αλαργινές.png (6.37 KiB) Προβλήθηκε 1300 φορές

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x - 60 = v{t_0}\\ \\ x + 60 = (v + 30){t_0} \end{array} \right.\mathop \Rightarrow \limits^{( - )} 30{t_0} = 120 \Leftrightarrow {t_0} = 4{\rm{h}}$ και $\boxed{v = \frac{{x - 60}}{4}}$ (1)

Έστω

ο χρόνος που ο

διανύει την απόσταση

Τότε ο

την διανύει σε χρόνο $t+\dfrac{7}{6}.$

$\displaystyle v\left( {t + \frac{7}{6}} \right) = x = (v + 30)t \Leftrightarrow t = \frac{{7v}}{{180}}\mathop \Rightarrow \limits^{(1)} t = \frac{{7(x - 60)}}{{720}}$ και αντικαθιστώντας στον τύπο

$\displaystyle x = (v + 30)t \Leftrightarrow x = \left( {\frac{{x - 60}}{4} + 30} \right)\left( {\frac{{7(x - 60)}}{{720}}} \right) \Leftrightarrow 7{x^2} - 2880x - 25200 = 0,$

απ' όπου παίρνουμε $x=420 \rm km,$ οπότε η απόσταση των δύο πόλεων είναι $\boxed{AB=2x=840 \rm km}$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Αύγ 26, 2020 8:09 pm**

Με πρόλαβαν

......... Αλλά θα παραθέσω και τις δικές μου σκέψεις γιατί, κόπιασα!___________________________

Έστω οι πόλεις του αργού και του βιαστικού λέγονται

και

αντίστοιχα.

Έστω $t_{1}$ ο χρόνος που χρειάζονται οι οδηγοί για να συναντηθούν στο σημείο

. Δηλαδή ισχύει:

$t_{1}=AS/u_{a}=BS/u_{b}$ άρα κάνοντας πράξεις και αντικαθιστώντας το $u_{b}$ παίρνουμε την σχέση:
$u_{a}=(AM-60)/4$

Τώρα όσον αφορά την δεύτερη περίπτωση:

Ο αργός σε χρόνο $t_{2}=1+1/6=7/6$ σε ώρες

διάνυσε διάστημα $S_{1}=u_{a}t_{2}=7u_{a}/6$ , ενώ ο βιαστικός δεν διάνυσε τίποτα, στο χρόνο αυτό.

Σε χρόνο $t'=t_{3}-t_{2}$ ο αργός διάνυσε απόσταση
$S_{3}=AM-S_{2}$ και ο βιαστικός απόσταση

.

$t'=S_{3}/u_{a}=BM/u_{b}$
Αντικαθιστώντας το $u_{b}$ με το δεδομένο, το $u_{a}$ με την σχέση που βρήκαμε και το

με το

καταλήγουμε σε μια δευτεροβάθμια με λύσεις:
(AM=-60/7

ή

Επειδή η απόσταση παίρνει μη αρνητικές τιμές η μοναδική λύση που δεχόμαστε είναι το
AM=420

σε

Τελός, επειδή το σημείο

είναι το μέσο του

, τότε ισχύει:
AB=2AM

ή

σε

*Διόρθωσα όλα τα λάθη με latex που είχα κάνει.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Αύγ 27, 2020 12:32 am**

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 26, 2020 8:32 am
Δύο οδηγοί , ο Αργός και ο Βιαστικός , οι οποίοι οδηγούν με σταθερές ταχύτητες ( αλλά ο Βιαστικός με ταχύτητα κατά

μεγαλύτερη εκείνης του Αργού ) , κατευθύνονται ο καθένας προς την πόλη του άλλου . Αν ξεκινήσουν

ταυτόχρονα θα συναντηθούν σε σημείο , το οποίο βρίσκεται σε απόσταση από το μέσο της διαδρομής .

Αν ο αργός ξεκινήσει νωρίτερα , τότε θα συναντηθούν στο μέσο . Πόση είναι η απόσταση των δύο πόλεων ;

: Αλαργινές πολιτείες.png (4.58 KiB) Προβλήθηκε 1239 φορές

Πρώτα -πρώτα αφού η διαφορά των αποστάσεων που διέτρεξαν τα δύο αυτοκίνητα είναι 60 + 60 = 120

και η διαφορά ταχυτήτων

η διαδρομή στην πρώτη φάση είχε διάρκεια : $\dfrac{{120}}{{30}} = 4$ ώρες .

Πάμε τώρα στην δεύτερη φάση .

Το αργό αυτοκίνητο έστω

θα έχει διάρκεια διαδρομής ${t_1} = 4 + x$ και το γρήγορο

${t_2} = 4 - y$ με $x + y = \dfrac{7}{6}$ και x,y > 0

$\left( 1 \right)$ .Προφανώς αν

η ταχύτητα του αργού,

Τότε η ταχύτητα του «γρήγορου» θα είναι u + 30

ενώ το διάστημα

$SM = 60 = ux \Rightarrow \boxed{x = \frac{{60}}{u}}\,\,\left( 2 \right)$ .

Τώρα τα δυο αυτοκίνητα έκαναν ίσες διαδρομές και άρα :

$u\left( {4 + x} \right) = \left( {4 - y} \right)\left( {u + 30} \right) \Leftrightarrow \left( {x + y} \right)u = \left( {4 - y} \right)30$ ή λόγω της $\left( 1 \right)$ :

$\dfrac{7}{6}u = 30\left( {4 - \dfrac{7}{6} + x} \right)$ που λόγω της $\left( 2 \right)$ δίδει : $\boxed{\frac{7}{6}u = 30\left( {\dfrac{{17}}{6} + \dfrac{{60}}{u}} \right)}$ .

Η εξίσωση αυτή δίδει: $7{u^2} - 510u - 10800 = 0$ με δεκτή ρίζα: $u = 90\left( {km/h} \right)$

Συνεπώς η απόσταση $AB = \left( {90 + 120} \right)4 = 840(km)$

Πολύ ωραίο πρόβλημα . Εύσημα στον KARKAR

αν είναι δική του έμπνευση. Θα ψάξω με χρήση "ψεύτικης υπόθεσης", λύση με πρακτική αριθμητική.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Αύγ 27, 2020 7:51 am**

Doloros έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 27, 2020 12:32 am
Πολύ ωραίο πρόβλημα . Εύσημα στον αν είναι δική του έμπνευση. Θα ψάξω με χρήση "ψεύτικης υπόθεσης",

λύση με πρακτική αριθμητική.

Είναι το πρόβλημα

του

από εδώ , προσαρμοσμένο στα γαλλικό μετρικό σύστημα .

mathematica.gr

Αλαργινές πολιτείες

Αλαργινές πολιτείες

Re: Αλαργινές πολιτείες

Re: Αλαργινές πολιτείες

Re: Αλαργινές πολιτείες

Re: Αλαργινές πολιτείες