mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιούλ 02, 2022 1:34 pm**

Δείξτε ότι σε οποιαδήποτε βάση αρίθμησης και αν δουλεύουμε (όπως π.χ. στο δεκαδικό σύστημα γραφής ή οποιοδήποτε άλλο) απoκλείεται να ισχύει η ισότητα $\displaystyle{\overline {AAA} = A^3\,\,\,. }$

(Σχόλιο: Είναι ευκολότερη από ότι δείχνει.)

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 03, 2022 12:20 am**

$\overline{AAA}= 100A + 10A + A= 111A\neq A^{3}\Rightarrow \left (A\neq 0 \right )A^{2}\neq 111$
Που όντως ισχύει.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 03, 2022 1:08 am**

NickSpanoudis έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 03, 2022 12:20 am
$A^{2}\neq 111$
Που όντως ισχύει.

Νομίζω ότι αυτό που παραλείπεις στον συλλογισμό σου είναι η ουσία της άσκησης. Με λίγα λόγια, δεν βλέπω γιατί σε κάποια βάση να μην ισχύει A^2 = 111

, πληρέστερα, A^2=(111)_b

.

Είναι μεν σωστό (και απλό) αλλά είναι ουσιαστικότερο βήμα από αυτά που έγραψες.

Θεωρώ την άσκηση ακόμα ανοικτή. Οι πλήρεις λύσεις, ευπρόσδεκτες.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 03, 2022 3:59 pm**

Θεωρώντας ότι $A\neq 0$ , έχουμε:
$(AAA)_{b}=A^{3}\iff A\cdot(b^2+b+1)=A^{3}\iff b^2+b+1=A^{2}$ ,
το οποίο είναι άτοπο αφού $b,A\in \mathbb{N}$ και b^2<b^2+b+1<(b+1)^2

.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 03, 2022 9:22 pm**

abfx έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 03, 2022 3:59 pm
$b^2+b+1=A^{2}$ ,
το οποίο είναι άτοπο αφού ...

Μπορούμε να κάνουμε το τελευταίο βήμα λίγο ευκολότερα, λέγοντας: Αφού η βάση είναι

, έχουμε εξ ορισμού A<b

. Άρα

$b^2 <b^2+b+1=A^{2} <b^2$ , άτοπο.

mathematica.gr

Αβάσιμος τέλειος κύβος.

Αβάσιμος τέλειος κύβος.

Re: Αβάσιμος τέλειος κύβος.

Re: Αβάσιμος τέλειος κύβος.

Re: Αβάσιμος τέλειος κύβος.

Re: Αβάσιμος τέλειος κύβος.