mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Αύγ 10, 2022 7:31 am**

Να λύσετε στους πρώτους αριθμούς την εξίσωση p(q+p)=r+120(E)

.
είναι πολύ απλή, ας την αφήσουμε για τους μαθητές μας.
είμαι περίεργος να δω τι θα κάνουν όσοι δεν ξέρουν εξισώσεις με διακρίνουσα!!

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Αύγ 10, 2022 10:55 am**

Καλημέρα,
Διακρίνουμε 3 περιπτώσεις.

1η περίπτωση:
Οι p, q

είναι περιττοί. Τότε πρέπει $RHS= even \implies r=2$ και άρα p(p+q)=2*61

αυτό όμως είναι αδύνατο για p, q

περιττούς.

2η περίπτωση
Ο

είναι άρτιος. με παρόμοιους ισχυρισμούς παίρνουμε ότι r=2

η οποία δίνει q=59

και επομένως έχουμε τη λύση (p, q, r)=(2, 59, 2)

3η περίπτωση
q=2

η (Ε) γράφεται: $p^2+2p+1=r+121 \implies (p+1)^2=121+r \implies (p-10)(p+12)=r \implies p-10=1 \implies p=11$
και άρα r=23

επομένως σε αυτή την περίπτωση έχουμε τη λύση (p, q, r)=(11, 2, 23)

Αυτές οι δύο λύσεις είναι και οι μοναδικές.

Σημείωση: Η λύση με διακρίνουσα στην τρίτη περίπτωση είναι παρόμοια με την παραγοντοποίηση

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Αύγ 10, 2022 11:01 am**

cool geometry έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 10, 2022 7:31 am
Να λύσετε στους πρώτους αριθμούς την εξίσωση .
είναι πολύ απλή, ας την αφήσουμε για τους μαθητές μας.
είμαι περίεργος να δω τι θα κάνουν όσοι δεν ξέρουν εξισώσεις με διακρίνουσα!!

Αν όλοι είναι περιττοί τότε έχουμε άτοπο από mod 2.

Έστω ότι p=2