mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Σεπ 08, 2022 4:11 pm**

Οι θετικοί ακέραιοι a,b,c,d

είναι τέτοιοι ώστε
$\displaystyle{(a^2-b^2 )(c^2-d^2 )+(b^2-d^2 )(c^2-a^2 )=2021.}$
Να βρείτε το άθροισμα $\displaystyle{a+b+c+d.}$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Σεπ 08, 2022 5:53 pm**

Κάνοντας τις πράξεις στο 1ο μέλος έχουμε:
a^2c^2+b^2d^2-a^2b^2-c^2d^2=2021

$\Leftrightarrow (a^2-d^2)(c^2-b^2)=2021$
$\Leftrightarrow (a+d)(a-d)(c-b)(c+b)=43\cdot 47$
Αφού οι a,b,c,d

είναι θετικοί ακέραιοι ισχύει ότι a+d>1,b+c>1

και καθώς

και

, πρέπει

και

ή αντίστροφα.
Επομένως a+b+c+d=90

.
(Π.χ.

)

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Σεπ 10, 2022 8:30 pm**

Εξίσωση στους ακέραιους, άθροισμα