mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Σεπ 26, 2022 1:34 am**

Να βρείτε το μεγαλύτερο φυσικό αριθμό, με όλα τα ψηφία του διαφορετικά, ο οποίος είναι πολλαπλάσιο του

, του

και του

.

https://artofproblemsolving.com/communi ... 8p26169753

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Οκτ 19, 2022 1:53 pm**

Έλειψα για δύο μέρες, χτύπησα το χέρι μου και δεν μπορούσα να πληκτρολογήσω, ούτε να γράψω, αλλά τώρα είμαι καλά.

Δίνω μία προσέγγιση στο ωραίο αυτό θέμα:

Ο αριθμός πρέπει να έχει το πολύ δέκα ψηφία, έτσι ώστε να είναι όλα διαφορετικά. Επίσης ο αριθμός αυτός διαιρείται ακριβώς με το 440

.

Θέτουμε $\displaystyle k=440m$ και έχουμε:

$\displaystyle 440m\leqslant 9876543210\Leftrightarrow m\leqslant 22446689.$

Αν $\displaystyle m=22446689\Rightarrow k=9876543160.$

Έχει όλα τα ψηφία του διαφορετικά, άρα είναι αυτός που ζητάμε.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Οκτ 23, 2022 9:13 pm**

Το πιο πάνω έχει δύο εξάρια.

Έστω S_1

το άθροισμα των ψηφίων στις περιττές θέσεις και S_2

το άθροισμα των ψηφίων στις άρτιες θέσεις. Τότε $S_1,S_2 \geqslant 0+1+2+3+4 = 10$ και S_1+S_2 = 45

. Πρέπει επίσης $S_1 - S_2 \equiv 0 \bmod 11$ . Τότε $2S_1 \equiv 45 \equiv 12 \bmod 11 \implies S_1 \equiv 6 \bmod 11$ . Αφού $10 \leqslant S_1 \leqslant 45-10 = 35$ τότε $S_1 \in \{17,28\}$ .

Αν ο αριθμός είναι ο 98765abcde