mathematica.gr • Δυνατές και αδύνατες δυνάμεις

Σελίδα 1 από 1

Δυνατές και αδύνατες δυνάμεις

Δημοσιεύτηκε: Τρί Νοέμ 15, 2022 8:52 pm

από Mihalis_Lambrou

Δίνονται δύο φυσικοί $m,\, n$ με m+n=125

m+n=125

.

Δείξτε ότι

α) δεν δυνατόν να βρεθεί φυσικός αριθμός

με

2^m3^n=12^k

.

Ομοίως

β) δεν δυνατόν να βρεθεί φυσικός αριθμός

με

2^m3^n=18^k

.

Ξανά ομοίως

γ) δεν δυνατόν να βρεθεί φυσικός αριθμός

με

2^m3^n=36^k

Από την άλλη

δ) να βρεθεί φυσικός αριθμός

με

2^m3^n=72^k

Ας την αφήσουμε

ώρες για τους μαθητές Γυμνασίου.

Re: Δυνατές και αδύνατες δυνάμεις

Δημοσιεύτηκε: Τρί Νοέμ 15, 2022 11:00 pm

από Filippos Fotiadis

α) $2^m*3^n=3^k*4^k=3^k*2^k*2^k=3^k*2^{2*k}$ Άρα m=2k

m=2k

και

n=k

άρα

m=2n

$m+n=125\Leftrightarrow n+2n=125 \Leftrightarrow 3n=125$ αρα n=125/3

n=125/3

που δεν είναι ακέραιος.
β) $2^m*3^n=3^k*2^k*3^k=3^{2k}*2^k$ άρα n=2k

n=2k

και

m=k

τοτε

n=2m

.
$m+n=125 \Leftrightarrow 2m+m=125 \Leftrightarrow 3m=125$ αρα m=125/3

m=125/3

που m δεν είναι ακέραιος γ) $2^m*3^n=12^k*3^k=3^k*3^k*2^k*2^k=3^{2*k}*2^{2*k}$
Αρα m=2k

m=2k

και

n=2k

και $2k+2k=125\Leftrightarrow 4k=125\Leftrightarrow k=125/4$ που δεν ειναι ακέραιος.
δ) $2^m*3^n=2^k*2^k*2^k*3^k*3^k\Leftrightarrow 2^m*3^n=2^{3*k}*3^{2k}$ άρα m=3k,n=2k

m=3k,n=2k

άρα

5k=125

άρα

k=25