mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Απρ 04, 2025 3:01 am**

Να προσδιορίσετε όλες τις δυνατές τιμές της παράστασης xy+yz+zx

για όλους τους πραγματικούς αριθμούς x, y, z

με

.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 14, 2025 1:05 pm**

Έστω

2A=2(xy+yz+zx)=(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)=(x+y+z)^2-(6+A)

άρα

(*).
Από τα πρώτα δυο μέλη της συνθήκης του προβλήματος έχω $x^2- y^2-yz +zx=0 \Rightarrow (x-y)(x+y+z)=0\Rightarrow (x=y) \vee (x+y+z=0)$ .

Αν x+y+z=0

, τότε η (*) δίνει $\boxed{A=-2}$ . Μια τέτοια τριάδα είναι η $(x,y,z)=(0,\sqrt{2},-\sqrt{2})$ .

Αν x=y

τότε έχω $x^2-xz=z^2-x^2\Rightarrow (x-z)(x+z+x)=0 \Rightarrow (x=z) \vee (z=-2x)$
Αν z=-2x

και

τότε και πάλι x+y+z=x+x-2x=0

οπότε $\boxed{A=-2}$ . Μια τέτοια τριάδα είναι η $(x,y,z)=(\sqrt{\frac{2}{3}},\sqrt{\frac{2}{3}},-2\sqrt{\frac{2}{3}})$ .
Η περίπτωση x=z

και

οδηγεί σε άτοπο ( 0=2

).

mathematica.gr

Δυνατές τιμές παράστασης

Δυνατές τιμές παράστασης

Re: Δυνατές τιμές παράστασης