mathematica.gr

Στο εσωτερικό ενός ημικυκλίου και πάνω στη μεσοκάθετο της διαμέτρου , θεωρούμε σημείο ,

τέτοιο ώστε : . Το σημείο επιλέγεται έτσι , ώστε το εφαπτόμενο προς το ημικύκλιο τμήμα ,

να είναι ίσο με το . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του .

KARKAR έγραψε: ↑

Πέμ Αύγ 14, 2025 6:23 am

Είναι πολλά.pngΣτο εσωτερικό ενός ημικυκλίου και πάνω στη μεσοκάθετο της διαμέτρου , θεωρούμε σημείο ,

τέτοιο ώστε : . Το σημείο επιλέγεται έτσι , ώστε το εφαπτόμενο προς το ημικύκλιο τμήμα ,

να είναι ίσο με το . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του .

Με Αναλυτική είναι άμεσο: Αν η αρχή των αξόνων και το μεταβλητό σημείο, από Πυθαγόρειο στο είναι . Επίσης είναι . H συνθήκη δίνει , ισόδύναμα (οριζόντια ευθεία).

Με ευκλείδεια , αξιοποιώντας το λήμμα του σχήματος ... με στροφή μοιρών .

( Στο αρχικό σχήμα : )

Θανάση, σωστά και καλά. Έχω όμως την εντύπωση ότι το παραπάνω προϋποθέτει ότι ξέρει κανείς ότι ο ζητούμενος γ.τ. είναι κάθετος στην και απλά το επιβεβαιώνει.

Πριν γράψω την λύση με Αναλυτική Γεωμετρία είχα υπόψη μου την παρακάτω με Ευκλείδεια μέσα, αλλά δεν την έγραψα επειδή η άσκηση αναφερόταν σε μαθητές Γυμνασίου. Προτίμησα την λύση με Αναλυτική ως πιο κοντά στον μαθητή. Με Ευκλείδεια:

Είναι . Άρα σταθερό. Με άλλα λόγια η διαφορά των τετραγώνων των αποστάσεων του από δύο σταθερά σημεία είναι σταθερή. Πρόκειται δηλαδή για τον γεωμετρικό τόπο του Απολλωνίου, που ξέρουμε ότι είναι ευθεία κάθετη στην . Είναι μάλιστα το ύψος του τριγώνου .