mathematica.gr • Σημειο-λόγος

Σελίδα 1 από 1

Σημειο-λόγος

Δημοσιεύτηκε: Τετ Αύγ 27, 2025 7:02 am

από KARKAR

: Συγκλονιστική σταθερότητα.png (15.62 KiB) Προβλήθηκε 660 φορές

Το

είναι σημείο του ημικυκλίου διαμέτρου

, ενώ το

σημείο της

. Φέρουμε

κάθετη

στην

, η οποία τέμνει το τόξο στο σημείο

. Για ποιες θέσεις των S , P

S , P

, είναι :

TQ=2ST

;

Re: Σημειο-λόγος

Δημοσιεύτηκε: Τετ Αύγ 27, 2025 9:41 am

από Mihalis_Lambrou

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 27, 2025 7:02 am
Το είναι σημείο του ημικυκλίου διαμέτρου , ενώ το σημείο της . Φέρουμε κάθετη

στην , η οποία τέμνει το τόξο στο σημείο . Για ποιες θέσεις των , είναι : ;

: simeio logogs.png (31.9 KiB) Προβλήθηκε 644 φορές

.
Θα δούμε ότι το

είναι σταθερό, αλλά το

μπορεί να είναι οποιοδήποτε σημείο της διαμέτρου, από νότια του

μέχρι το

. Πράγματι,

επειδή τα ορθογώνια τρίγωνα STQ, ASB

STQ, ASB

είναι όμοια (δύο αντίστοιχες οξείες ίσες), έχουμε $\dfrac {SB}{AS}=\dfrac {TQ}{TS}=2$ . Οπότε αν AS=x

AS=x

τότε

SB=2x

, οπότε

x^2+(2x)^2=AS^2+SB^2=AB^2=(2r)^2

, από όπου $\boxed {x=\dfrac {2\sqrt 5}{5} r}$ . Αυτό προσδιορίζει μοναδικά την θέση του

Τώρα, αρχίζουμε από την αρχή, αλλά ανάποδα από πριν: To

έχει προσδιοριστεί. Για οποιοδήποτε

ως άνω, φέρνουμε την

και μετά την κάθετο από το

σε αυτήν. Αυτόματα, από τα όμοια τρίγωνα STQ, ASB

STQ, ASB

, είναι

TQ=2ST

.