Αποχρών λόγος

KARKAR · #1

: Αποχρών λόγος.png (8.68 KiB) Προβλήθηκε 131 φορές

Στο εσωτερικό της ακτίνας OA=1

του τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AB}$ κινείται σημείο

. Η κάθετη προς την

στο

,

τέμνει το τόξο στο σημείο

, ενώ οι προεκτάσεις των

OA , BP

τέμνονται στο σημείο

.

Υπολογίστε το τμήμα AS=y

, συναρτήσει του OT=x

και βρείτε την τιμή του

, για την οποία είναι :

\dfrac{y}{x}=\dfrac{5}{4}

.

#2

KARKAR έγραψε: Κυρ Σεπ 20, 2026 8:48 pm Αποχρών λόγος.pngΣτο εσωτερικό της ακτίνας του τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AB}$ κινείται σημείο . Η κάθετη προς την στο ,

τέμνει το τόξο στο σημείο , ενώ οι προεκτάσεις των $OA , BP$ τέμνονται στο σημείο .

Υπολογίστε το τμήμα , συναρτήσει του και βρείτε την τιμή του , για την οποία είναι : $\dfrac{y}{x}=\dfrac{5}{4}$ .

.
Aπό τα όμοια τρίγωνα

PTS, BOS

έχουμε

\dfrac {PT}{TS}=\dfrac {OB}{OS}

. Ισοδύναμα

\dfrac {\sqrt {1-x^2}}{(1-x)+y}=\dfrac {1}{1+y}

.

Λύνοντας,

\boxed {y= \dfrac {\sqrt {1-x^2}+x-1}{1-\sqrt {1-x^2}}}

.

Για το δεύτερο ερώτημα λύνουμε την

\dfrac {\dfrac {\sqrt {1-x^2}+x-1}{1-\sqrt {1-x^2}}}{x}= \dfrac{5}{4}

, από όπου

\boxed {x=\dfrac {4}{5}}

KARKAR · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: Κυρ Σεπ 20, 2026 9:18 pm
Λύνοντας, $\boxed {y= \dfrac {\sqrt {1-x^2}+x-1}{1-\sqrt {1-x^2}}}$ .

Χρησιμοποιώντας την συζυγή παράσταση του παρονομαστή θα προτιμήσουμε την έκφραση :

\boxed {y= \dfrac {1-x+\sqrt {1-x^2}}{x}, 0<x<1}

, η οποία μας διευκολύνει στους υπολογισμούς .

#4

KARKAR έγραψε: Τετ Σεπ 23, 2026 1:51 pm
Mihalis_Lambrou έγραψε: Κυρ Σεπ 20, 2026 9:18 pm
Λύνοντας, $\boxed {y= \dfrac {\sqrt {1-x^2}+x-1}{1-\sqrt {1-x^2}}}$ .
Χρησιμοποιώντας την συζυγή παράσταση του παρονομαστή θα προτιμήσουμε την έκφραση :

$\boxed {y= \dfrac {1-x+\sqrt {1-x^2}}{x}, 0<x<1}$ , η οποία μας διευκολύνει στους υπολογισμούς .

.
Θανάση, και πάλι μετατοπίζεις τη συζήτηση σε τριτεύοντα ζητήματα, όπως εδώ.

Ας σημειώσω ότι το επιτηδευμένο, κατά τη γνώμη μου, σχόλιό σου παραπάνω δεν αλλάζει την ουσία του ζητήματος ούτε καθιστά τις πράξεις απλούστερες. Αν, για παράδειγμα, είχες να λύσεις την

\dfrac{\sqrt{1-x^2}+x-1}{1-\sqrt{1-x^2}}=a

οι πράξεις είναι ουσιαστικά οι ίδιες με της εκδοχής

\dfrac{1-x+\sqrt{1-x^2}}{x}=a

.

Συγκεκριμένα, στην δική σου εκδοχή οι "πολλές πράξεις" έγιναν κρυφά στο βήμα

\dfrac {\sqrt {1-x^2}+x-1}{1-\sqrt {1-x^2}}= \dfrac {1-x+\sqrt {1-x^2}}{x}

και μόνο κατόπιν εμφανίζεται το a. Στη δική μου εκδοχή, αντίθετα, το a χρησιμοποιείται εξαρχής. Επομένως, η διαφορά είναι περισσότερο θέμα σειράς παρουσίασης παρά ουσιαστικής διαφοροποίησης των πράξεων.

Καλό είναι, κατά τη γνώμη μου, να μην αναλωνόμαστε σε υπερσχολαστικές διακρίσεις όταν αυτές δεν προσθέτουν απολύτως τίποτα στην μαθηματική επιχειρηματολογία. Τέτοιου είδους εστίαση μπορεί τελικά να έχει περισσότερα αρνητικά παρά θετικά αποτελέσματα, καθώς κινδυνεύουμε να χάσουμε τη συνολική εικόνα επικεντρωνόμενοι υπερβολικά σε μια ήσσονος σημασίας λεπτομέρεια. Αλλιώς χάνουμε την θέα του δάσους με αφορμή την εστίαση σε ένα μικρό κλαδάκι ενός δέντρου. Ξεφεύγουμε από το αγαθό των Μαθηματικών.

Αποχρών λόγος

Αποχρών λόγος

Re: Αποχρών λόγος

Re: Αποχρών λόγος

Re: Αποχρών λόγος

Μέλη σε σύνδεση