Πάνω από δύο

KARKAR · #1

: Πάνω από δύο.png (8.41 KiB) Προβλήθηκε 79 φορές

Οι

, είναι οι διχοτόμοι των οξειών γωνιών του ορθογωνίου τριγώνου ABC

. Δείξτε ότι :

2<\cot\theta <3

#2

KARKAR έγραψε: Τρί Σεπ 22, 2026 1:03 pm Πάνω από δύο.pngΟι , είναι οι διχοτόμοι των οξειών γωνιών του ορθογωνίου τριγώνου . Δείξτε ότι : $2<\cot\theta <3$

.
Από το Θεώρημα των Διχοτόμων είναι

AE= \dfrac {bc}{a+b}

και

AD= \dfrac {bc}{a+c}

. Συνεπώς από τα ορθογώνια τρίγωνα

ACE, ADE

έχουμε

\tan (\widehat {AEC} )= \dfrac {AC}{AE} = \dfrac {b}{\dfrac {bc}{a+b}}= \dfrac {a+b}{c}

και

\tan (\widehat {AED} )= \dfrac {AD}{AE} = \dfrac {b\dfrac {bc}{a+c}}{\dfrac {bc}{a+b}}= \dfrac {a+b}{a+c}

Άρα

\tan \theta = \tan (\widehat {AEC}- \widehat {AED})= \dfrac {\dfrac {a+b}{c}- \dfrac {a+b}{a+c}}{1+\dfrac {a+b}{c} \cdot \dfrac {a+b}{a+c}}= \dfrac {a(a+b)}{a^2+ ac+c^2+b^2+2ab}=^{b^2+c^2=a^2 } \dfrac {a(a+b)}{2a^2+ ac+2ab}

Χρησιμοποιώντας τώρα την c<a

και, χωριστά, την c>0

έχουμε αντίστοιχα

\tan \theta < \dfrac {a(a+b)}{2a^2+2ab}= \dfrac {1}{2}

και

\tan \theta > \dfrac {a(a+b)}{3a^2+2ab}> \dfrac {a(a+b)}{3a^2+3ab}= \dfrac {1}{3}

,

που ισοδυναμούν με τις αποδεικτέες.

KARKAR · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τρί Σεπ 22, 2026 5:25 pm
Άρα $\tan \theta = \dfrac {a(a+b)}{2a^2+ ac+2ab}$

Μπορούμε να βελτιώσουμε της εμφάνιση του τελειώματος , ως εξής : Απλοποιώντας :

\tan \theta = \dfrac {a+b}{2a+2b+c}

, ή :

\cot\theta= \dfrac{2a+2b+c}{a+b}=2+\dfrac{c}{a+b}

και το ζητούμενο καθίσταται τώρα προφανές .

#4

KARKAR έγραψε: Τρί Σεπ 22, 2026 7:13 pm
Mihalis_Lambrou έγραψε: Τρί Σεπ 22, 2026 5:25 pm
Άρα $\tan \theta = \dfrac {a(a+b)}{2a^2+ ac+2ab}$

Μπορούμε να βελτιώσουμε της εμφάνιση του τελειώματος , ως εξής : Απλοποιώντας :

$\tan \theta = \dfrac {a+b}{2a+2b+c}$ , ή : $\cot\theta= \dfrac{2a+2b+c}{a+b}=2+\dfrac{c}{a+b}$

και το ζητούμενο καθίσταται τώρα προφανές .

.
Θανάση,

δεν αλλάζει απολύτως τίποτα από αυτό που έγραψα. Συγκεκριμένα, έθεσα (c=0) στο πρώτο βήμα και στη συνέχεια αντέστρεψα το κλάσμα. Εσύ έκανες το αντίστροφο: πρώτα αντέστρεψες το κλάσμα και κατόπιν —σιωπηρά— έθεσες (c=0), ώστε να καταλήξεις στο

2+\dfrac{c}{a+b}>2

.

Είναι ακριβώς η ίδια διαδικασία, απλώς με διαφορετική σειρά.

Θα μπορούσα, μάλιστα, να είχα γράψει απευθείας, χωρίς καμία ιδιαίτερη αιτιολόγηση, ως τετριμμένο,

\tan\theta=\dfrac{a+b}{2a+2b+c} <\dfrac{a+b}{2a+2b} =\dfrac{1}{2}

Έχω επισημάνει επανειλημμένα ότι η εκ των υστέρων τετριμμένη συμπλήρωση μιας απόδειξης άλλου δεν αποτελεί ουσιαστική μαθηματική συνεισφορά. Στη συγκεκριμένη περίπτωση, η ακραία σχολαστική αυτή παρέμβαση δεν προσθέτει απολύτως τίποτα στην απόδειξη ούτε βελτιώνει την κατανόησή της. Αντιθέτως, μετατοπίζει τη συζήτηση από την ουσία σε μια λεπτομέρεια χωρίς μαθηματικό περιεχόμενο.

Νομίζω ότι, ιδίως σε μια μαθηματική συζήτηση μεταξύ ανθρώπων που ενδιαφέρονται για την ουσία, θα πρέπει να διακρίνουμε μια πραγματική μαθηματική παρατήρηση από την σχολαστική (pedantic) αναδιατύπωση ενός τετριμμένου βήματος. Διαφορετικά, κινδυνεύουμε να χάνουμε την ουσία μέσα σε τριτεύοντα ζητήματα.

Ελπίζω να έγινα σαφής αυτή την φορά. Άλλωστε είναι πολλοστή προσπάθεια. Βλέπε

εδώ

εδώ

εδώ

Πάνω από δύο

Πάνω από δύο

Re: Πάνω από δύο

Re: Πάνω από δύο

Re: Πάνω από δύο

Μέλη σε σύνδεση