Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

Νέο Θέμα

Επισήμανση θεμάτων ως αναγνωσμένα • 40 θέματα

Ανακοινώσεις

Απαντήσεις

Προβολές

Τελευταία δημοσίευση

Διαδικτυακό Μαθηματικό Περιοδικό «Μελέτη»

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές « Σάβ Νοέμ 02, 2019 12:37 pm
Δημοσιεύτηκε σε Γενικά Μηνύματα
Απαντήσεις: 4
από Γενικοί Συντονιστές » Σάβ Μαρ 11, 2017 5:04 pm » σε Γενικά Μηνύματα

περιοδικό

μελέτη

Αγαπητοί φίλοι,

Με ιδιαίτερη χαρά ανακοινώνουμε την κυκλοφορία του πρώτου μας διαδικτυακού μαθηματικού περιοδικού απευθυνόμενο στους μαθητές της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης.

Το περιοδικό «Μελέτη» απευθύνεται σε μαθητές Γυμνασίου και Λυκείου και...

4 Απαντήσεις

55955 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές
Σάβ Νοέμ 02, 2019 12:37 pm
Ενεργοποίηση Λέξεων Κλειδιά (tags) στο mathematica!

Τελευταία δημοσίευση από Al.Koutsouridis « Τετ Φεβ 20, 2019 12:52 pm
Δημοσιεύτηκε σε Γενικά Μηνύματα
Απαντήσεις: 10
από cretanman » Τρί Σεπ 27, 2016 1:19 pm » σε Γενικά Μηνύματα

οδηγίες

λέξη

κλειδί

Λέξη-κλειδί

tags

Πλέον μπορούμε να προσθέσουμε λέξεις κλειδιά (tags στα αγγλικά) στις δημοσιεύσεις μας για πιο γρήγορη αναζήτηση από τους χρήστες. Και πάλι πρέπει να ευχαριστήσουμε τον Γιώργο Μαργαρίτη αφού με τη βοήθειά του μπορούμε να γράφουμε λέξεις - κλειδιά και...

10 Απαντήσεις

58330 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Al.Koutsouridis
Τετ Φεβ 20, 2019 12:52 pm
Η Αρμονική Γεωμετρία του Νίκου Κυριαζή

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές « Κυρ Ιαν 10, 2016 2:44 pm
Δημοσιεύτηκε σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

από Γενικοί Συντονιστές » Κυρ Ιαν 10, 2016 2:44 pm » σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

Αρμονική-Γεωμετρία

Πληροφορούμε με μεγάλη χαρά μας τα μέλη και τους επισκέπτες του mathematica ότι το διακεκριμένο μέλος μας ο Γεωμέτρης Νίκος Κυριαζής ανήρτησε στο mathematica το βιβλίο του Αρμονική Γεωμετρία
Τον συγχαίρουμε, τον ευχαριστούμε θερμά και του ευχόμαστε...

0 Απαντήσεις

67212 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές
Κυρ Ιαν 10, 2016 2:44 pm
Γ' Λυκείου: Μία συλλογή ασκήσεων στα Μαθηματικά Γ. Παιδείας

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές « Κυρ Μάιος 06, 2012 11:43 pm
Δημοσιεύτηκε σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

από Γενικοί Συντονιστές » Κυρ Μάιος 06, 2012 11:43 pm » σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

Αναρτούμε την νέα δουλειά στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας που συνέθεσαν τα μέλη μας
Γιώργος Απόκης , Βασίλης, Κακαβάς, Δημήτρης Κατσίποδας, Χρήστος Κανάβης, Περικλής Παντούλας, Κώστας Τηλέγραφος, Χρήστος Τσιφάκης, Μάκης Χατζόπουλος
Το εξώφυλλο...

0 Απαντήσεις

127584 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές
Κυρ Μάιος 06, 2012 11:43 pm
Γ' Λυκείου: Μία συλλογή ασκήσεων στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης.

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές « Δευ Απρ 09, 2012 11:06 am
Δημοσιεύτηκε σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

από Γενικοί Συντονιστές » Δευ Απρ 09, 2012 11:06 am » σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

Με μεγάλη μας χαρά αναρτούμε το βιβλίο
Γ' Λυκείου: Μία συλλογή ασκήσεων στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης.
που συνέθεσαν οι συνάδελφοι μέλη του mathematica
Βασίλης Κακαβάς , Δημήτρης Κατσίποδας , Περικλής Παντούλας , Κώστας Τηλέγραφος , Παναγιώτης...

0 Απαντήσεις

143142 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές
Δευ Απρ 09, 2012 11:06 am
Εικοσιδωδεκάεδρον (τεύχος 22)

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές « Τρί Μαρ 03, 2020 12:45 pm
Δημοσιεύτηκε σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια
Απαντήσεις: 21
από Γενικοί Συντονιστές » Πέμ Νοέμ 18, 2010 11:04 pm » σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια
1

2
Εικοσιδωδεκάεδρον

Αγαπητοί Φίλοι
Με χαρά μας αναρτούμε το πρώτο φύλλο αποδελτίωσης του mathematica που περιέχει ένα δείγμα από το πλούσιο υλικό που με την δική σας συμβολή υπάρχει στον ιστότοπο μας.
Η επιλογή έγινε από τους αρμόδιους επιμελητές του αντίστοιχου...
21 Απαντήσεις

227126 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές
Τρί Μαρ 03, 2020 12:45 pm

Θέματα

Απαντήσεις

Προβολές

Τελευταία δημοσίευση

Θεωρία Αριθμών

Τελευταία δημοσίευση από 2nisic « Παρ Ιαν 22, 2021 6:34 pm
Απαντήσεις: 4
από 2nisic » Σάβ Ιαν 16, 2021 11:10 am

Θεωρία-Αριθμών

Να αποδειχθεί πως η εξίσωση:

$\displaystyle{x^{2}+y^{2}=(x+1)^{3}}$

Έχει μοναδικές λύσεις στους φυσικούς την $x=88,y=835$ και την $x=0,y=1$

4 Απαντήσεις

316 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από 2nisic
Παρ Ιαν 22, 2021 6:34 pm
Απλή!

Τελευταία δημοσίευση από 2nisic « Παρ Ιαν 22, 2021 6:32 pm
Απαντήσεις: 8
από JimNt. » Πέμ Μαρ 16, 2017 1:58 pm

διοφαντική

διαιρετότητα

$1.$ Να βρείτε όλους τους θετικούς ακεραίους $a$ για τους οποίους $5^a|7^a+1$
$2.$ Να βρείτε όλoυς τoυς πρώτους $p$ που ικανοποιούν την $a^{(p-1)^a}+11=p^{a+1}$, όπου $a$ o προαναφερθείς θετικός ακέραιος. Για μαθητές

8 Απαντήσεις

1447 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από 2nisic
Παρ Ιαν 22, 2021 6:32 pm
Βραζιλιάνικα...

Τελευταία δημοσίευση από miltosk « Κυρ Αύγ 30, 2020 12:08 pm
Απαντήσεις: 10
από M.S.Vovos » Πέμ Αύγ 27, 2020 10:06 pm

θεωρία-αριθμών

Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι $a,b$ ώστε $3^{a}=2b^{2}+1$.

Φιλικά,
Μάριος

10 Απαντήσεις

807 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από miltosk
Κυρ Αύγ 30, 2020 12:08 pm
Σχετικά πρώτοι σε ακολουθία

Τελευταία δημοσίευση από DrStrange « Τετ Ιούλ 22, 2020 3:45 pm
Απαντήσεις: 1
από silouan » Τετ Ιούλ 22, 2020 2:27 pm

ακολουθία

σχετικά-πρώτοι

Έστω $a_1\in\mathbb{Z}$. Ορίζουμε αναδρομικά $a_2=a_1^2-a_1-1$, $\dots$ ,$a_{n+1}=a_n^2-a_n-1$. Να αποδειχθεί ότι ο $a_{n+1}$ και ο $2n+1$ είναι σχετικά πρώτοι.

1 Απαντήσεις

351 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από DrStrange
Τετ Ιούλ 22, 2020 3:45 pm
Διοφαντική εξίσωση!

Τελευταία δημοσίευση από matha « Δευ Απρ 13, 2020 1:44 am
Απαντήσεις: 16
από matha » Κυρ Απρ 05, 2020 8:53 pm

διοφαντική

εξίσωση

Με αφορμή την δεύτερη εξίσωση εδώ , μια παρόμοιου ύφους, αλλά σαφώς δυσκολότερη:

Να λυθεί στους φυσικούς η εξίσωση

$\displaystyle{10^x+89=y^2.}$

16 Απαντήσεις

1840 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από matha
Δευ Απρ 13, 2020 1:44 am
Διαιρείται με το 7;

Τελευταία δημοσίευση από minageus « Τρί Ιούλ 02, 2019 10:02 pm
Απαντήσεις: 3
από matha » Κυρ Νοέμ 25, 2018 11:20 pm

διαιρετότητα

διωνυμικός-συντελεστής

Μάλλον καταλληλότερο για Ευκλείδη Β-Γ' Λυκείου:

Να εξετάσετε αν

$\displaystyle{7| \binom{1000}{500}.}$

3 Απαντήσεις

1279 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από minageus
Τρί Ιούλ 02, 2019 10:02 pm
Πεπερασμένο Πλήθος Πρώτων

Τελευταία δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος « Πέμ Ιουν 27, 2019 7:06 pm
Απαντήσεις: 1
από JimNt. » Πέμ Ιουν 27, 2019 4:41 pm

πολυώνυμο

ανοιχτό

Δίνεται μονικό πολυώνυμο δευτέρου βαθμού $P(x)$ με ακέραιους συντελεστές. Να αποδειχτεί (ή να απορριφθεί) ότι αν η $\Delta \neq 0$ τότε το πλήθος των πρώτων $p$ για τους οποίους ισχύει ότι το $P(x)$ είναι τετραγωνικό υπόλοιπο $\mod p$ για κάθε $x$...

1 Απαντήσεις

855 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Πέμ Ιουν 27, 2019 7:06 pm
Θεωρία αριθμών- Συνδυαστική απο TST Περσία

Τελευταία δημοσίευση από Demetres « Τρί Απρ 30, 2019 6:22 pm
Απαντήσεις: 1
από Datis-Kalali » Πέμ Απρ 25, 2019 6:54 pm

Θεωρία-αριθμών

Συνδυαστική

Ο κύριος Α επιλέγει 10 διαφορετικούς θετικούς ακέραιους και δίνει τα ελάχιστα κοινά πολλαπλάσια και τους μέγιστους κοινούς διαιρέτες ολων των ζεύγων των αριθμών (συνολικά 90 αριθμούς) στον κύριο Β. Μπορεί ο κύριος Β να βρίσκει τους 10 αρχικούς...

1 Απαντήσεις

961 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Demetres
Τρί Απρ 30, 2019 6:22 pm
Αριθμητική συνάρτηση

Τελευταία δημοσίευση από Demetres « Παρ Φεβ 22, 2019 9:20 pm

από Demetres » Παρ Φεβ 22, 2019 9:20 pm

2019

HMMT

Υπάρχει μοναδική συνάρτηση $f:\mathbb{N} \to \mathbb{R}$ ώστε $f(1) > 0$ και

$\displaystyle \sum_{d|n} f(d)f(\tfrac{n}{d}) = 1$

για κάθε $n \geqslant 1$. Να υπολογιστεί η τιμή του $f\left(2018^{2019}\right)$.

0 Απαντήσεις

904 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Demetres
Παρ Φεβ 22, 2019 9:20 pm
Με 3 αγνώστους

Τελευταία δημοσίευση από Demetres « Δευ Ιαν 07, 2019 3:08 pm
Απαντήσεις: 3
από Xriiiiistos » Κυρ Ιαν 06, 2019 11:18 pm

Ακέραιος

Αν $a,b$ είναι θετικοί ακέραιοι και $p$ πρώτος να λυθεί η εξίσωση

$a^{2p}=a^{2}+b^{2}+p+1$

3 Απαντήσεις

1099 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Demetres
Δευ Ιαν 07, 2019 3:08 pm
Putnam 2018/B3

Τελευταία δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος « Τετ Δεκ 19, 2018 3:33 pm
Απαντήσεις: 1
από Demetres » Τετ Δεκ 19, 2018 11:14 am

2018

Putnam

Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι $n < 10^{100}$ ώστε ταυτόχρονα ο $n$ να διαιρεί τον $2^n$, ο $n-1$ να διαιρεί τον $2^n-1$ και ο $n-2$ να διαιρεί τον $2^n - 2$.

1 Απαντήσεις

917 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Τετ Δεκ 19, 2018 3:33 pm
0-1

Τελευταία δημοσίευση από Demetres « Κυρ Δεκ 09, 2018 11:45 pm
Απαντήσεις: 2
από Λάμπρος Κατσάπας » Κυρ Δεκ 09, 2018 11:23 pm

ακολουθία

Θεωρούμε το σύνολο $A$ των ακολουθιών $a_1a_2...a_n$ όπου $n=0,2,4...$, $a_i \in \left \{ 0,1 \right \}$ το οποίο κατασκευάζεται

ξεκινώντας από την ακολουθία μήκους $n=0$ σύμφωνα με τους δύο παρακάτω κανόνες.

1. Αν $a\in A$ τότε $0a1 \in A$ και...

2 Απαντήσεις

930 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Demetres
Κυρ Δεκ 09, 2018 11:45 pm
ΤΕΛΕΙΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ!

Τελευταία δημοσίευση από silouan « Παρ Ιούλ 06, 2018 10:07 pm
Απαντήσεις: 9
από ΑΝΔΡΕΑΣ ΛΑΜΠΡΟΥ » Παρ Ιουν 22, 2018 1:18 am

τέλειο-τετράγωνο

Να δείξετε ότι αν για κάθε $n\in\mathbb{N}$ o αριθμός $(a^n-1)(b^n-1)$ με $a,b$ θετικούς ακεραίους είναι τέλειο τετράγωνο τότε $a=b$.

9 Απαντήσεις

2123 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από silouan
Παρ Ιούλ 06, 2018 10:07 pm
2 πρώτοι και ένας φυσικός

Τελευταία δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος « Σάβ Ιουν 30, 2018 1:40 pm
Απαντήσεις: 2
από Xriiiiistos » Σάβ Ιουν 30, 2018 11:44 am

ακέραιες-λύσεις

Να βρεθούν οι τριαάδες φυσικών ακέραιων $(r,p,q)$ , με $p,q$ να είναι πρώτοι, ώστε να ισχύ

$\frac{r^{2}-5q^{2}}{p^{2}-1}=2$

2 Απαντήσεις

923 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Σάβ Ιουν 30, 2018 1:40 pm
Απίστευτοι Αριθμοί

Τελευταία δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός « Παρ Ιουν 01, 2018 2:14 pm
Απαντήσεις: 2
από harrisp » Σάβ Απρ 22, 2017 11:11 am

mod

Ένας α π ί σ τ ε υ τ ο ς αριθμός είναι ένας θετικός ακέραιος της μορφής:

$2^{a_1}+2^{a_2}+ \cdots+ 2^{a_{100}},$

με $a_1,a_2, \cdots, a_{100}$ μη αρνητικούς ακεραίους, όχι απαραίτητα διαφορετικούς.

Να βρείτε τον μικρότερο θετικό ακέραιο $n$ του...

2 Απαντήσεις

1927 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός
Παρ Ιουν 01, 2018 2:14 pm
Putnam 2017/B2

Τελευταία δημοσίευση από Demetres « Τρί Μάιος 29, 2018 9:17 am
Απαντήσεις: 2
από Demetres » Παρ Δεκ 08, 2017 2:51 pm

Putnam

2017

Δίνεται θετικός ακέραιος $N$ ο οποίος μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα $k$ διαφορετικών θετικών ακεραίων

$\displaystyle N=a+(a+1)+(a+2)+\cdots+(a+k-1)$

για $k=2017$ αλλά όχι για οποιαδήποτε άλλη τιμή $k>1.$ Από όλους τους θετικούς ακέραιους $N$ με...

2 Απαντήσεις

1431 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Demetres
Τρί Μάιος 29, 2018 9:17 am
Ακολουθία

Τελευταία δημοσίευση από Demetres « Τετ Μάιος 02, 2018 4:56 pm
Απαντήσεις: 2
από Datis-Kalali » Τρί Μάιος 01, 2018 6:27 pm

Ακολουθία

Η ακολουθία $\{a_n\}_{n=1} ^{\infty}$ ορίζεται με τις σχέσεις:
$a_1=a_2=a_3=1$, $a_{n+1}=\frac{a_n a_{n-1} +1}{a_{n-2}}$
Να δείξετε ότι όλοι οι όροι της ακολουθίας είναι θετικοί ακέραιοι.

2 Απαντήσεις

1057 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Demetres
Τετ Μάιος 02, 2018 4:56 pm
Σύνολο αριθμών

Τελευταία δημοσίευση από dement « Κυρ Απρ 08, 2018 12:48 pm
Απαντήσεις: 1
από Datis-Kalali » Σάβ Απρ 07, 2018 4:44 pm

Σύνολο-αριθμών

Δίνεται το σύνολο $S= \{a^2+a-1,a^3+a^2-1,\ldots ,a^{n+1}+a^n-1,\ldots\}$ όπου $a>1$ είναι θετικός ακέραιος.
Να δείξετε ότι υπάρχει ένα υποσύνολο $M\subseteq S$ με άπειρα στοιχεία, έτσι ώστε κάθε 2 αριθμούς απο το σύνολο $M$ είναι πρώτοι μεταξύ...

1 Απαντήσεις

933 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από dement
Κυρ Απρ 08, 2018 12:48 pm
Θεωρία Αριθμών

Τελευταία δημοσίευση από matha « Πέμ Απρ 05, 2018 5:48 pm
Απαντήσεις: 2
από kimjonarfib » Πέμ Απρ 05, 2018 3:52 am

θεωρία-αριθμών

Γεια σε όλους και καλό πάσχα

Αναζητώντας ασκήσεις στο διαδίκτυο βρήκα το ακόλουθο θέμα.Ελπίζω να σας αρέσει.

Ο αριθμός 104.060.465 διαιρείται από πενταψήφιο πρώτο.Ποιος είναι αυτός;

2 Απαντήσεις

1119 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από matha
Πέμ Απρ 05, 2018 5:48 pm
Διαιρετότητα!

Τελευταία δημοσίευση από Demetres « Σάβ Φεβ 03, 2018 6:07 pm
Απαντήσεις: 1
από Datis-Kalali » Πέμ Φεβ 01, 2018 7:47 pm

διαρετότητα

Να βρείτε όλες τις μη-αρνητικούς ακέραιους $(a,b,c)$, έτσι ώστε $2^c-1 \vert 2^a+2^b+1$

1 Απαντήσεις

1154 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Demetres
Σάβ Φεβ 03, 2018 6:07 pm
Αθροισμα κύβων

Τελευταία δημοσίευση από Demetres « Δευ Οκτ 02, 2017 1:01 pm
Απαντήσεις: 3
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Οκτ 02, 2017 11:12 am

αθροισμα-κύβοι

πέντε-κύβοι

Να δειχθεί ότι κάθε ακέραιος γράφεται σαν άθροισμα πέντε κύβων.

3 Απαντήσεις

1269 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Demetres
Δευ Οκτ 02, 2017 1:01 pm
Κανένα μηδενικό στην δεκαδική αναπαράσταση

Τελευταία δημοσίευση από Demetres « Δευ Οκτ 02, 2017 11:05 am
Απαντήσεις: 2
από Demetres » Κυρ Οκτ 01, 2017 11:54 am

δεκαδική-αναπαράσταση

Παίρνοντας αφορμή από αυτό εδώ , δείξτε ότι κάθε φυσικός αριθμός ο οποίος δεν είναι πολλαπλάσιο του $10$, έχει ένα πολλαπλάσιο, το οποίο στην δεκαδική του αναπαράσταση δεν εμφανίζεται κανένα μηδενικό.

2 Απαντήσεις

1321 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Demetres
Δευ Οκτ 02, 2017 11:05 am
Πρώτος και δύναμη!

Τελευταία δημοσίευση από Mihalis_Lambrou « Πέμ Σεπ 28, 2017 8:52 am
Απαντήσεις: 5
από Ορέστης Λιγνός » Σάβ Σεπ 23, 2017 7:03 pm

πρώτος

Έστω $n \in \mathbb{N}$ ώστε ο $4^n+2^n+1$ να είναι πρώτος.

Να δείξετε, ότι ο $n$ είναι δύναμη του $3$.

Προς το παρόν δεν έχω λύση ...

5 Απαντήσεις

1779 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Mihalis_Lambrou
Πέμ Σεπ 28, 2017 8:52 am
Δύσκολη διοφαντική

Τελευταία δημοσίευση από min## « Παρ Σεπ 01, 2017 11:13 am
Απαντήσεις: 1
από Panagiotis11 » Παρ Σεπ 01, 2017 3:06 am

διοφαντική

θεωρία-αριθμών

Να βρεθούν όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων $(x,y)$ που ικανοποιούν την εξίσωση:

$2x^4+1=y^2$

1 Απαντήσεις

1458 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από min##
Παρ Σεπ 01, 2017 11:13 am
Άθροισμα αντιστρόφων πρώτων

Τελευταία δημοσίευση από Demetres « Πέμ Ιούλ 27, 2017 12:59 pm
Απαντήσεις: 3
από silouan » Τρί Ιουν 20, 2017 4:03 pm

πρώτοι

αντίστροφοι

άθροισμα

Με αφορμή αυτό:

Έστω $\mathcal{P}$ το σύνολο των πρώτων που είναι μικρότεροι από $2^{100}$.

Να αποδείξετε ότι $\displaystyle\sum_{p\in\mathcal{P}}\frac{1}{p}<10$.

Μπορεί το φράγμα να βελτιωθεί και άλλο;

3 Απαντήσεις

1798 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Demetres
Πέμ Ιούλ 27, 2017 12:59 pm

Νέο Θέμα

Επισήμανση θεμάτων ως αναγνωσμένα • 40 θέματα

Επιστροφή στο ευρετήριο

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης

Προσβάσεις σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση

Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επισυνάπτετε αρχεία σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση