Τα τρίγωνα $ABC$ και $ADE$ του παρακάτω σχήματος έχουν: $AB= AD$, $BC= AE$ και $AC=DE$.
Το σημείο $X$ είναι συμμετρικό του $A$ ως προς τη μεσοκάθετο $\ell$ του ευθύγραμμου τμήματος $CE$.
Να αποδείξετε ότι τα σημεία $A$, $B$, $D$ και $X$ ανήκουν...

Τόπος προβολής.png Το σημείο $S(a,b)$ του πρώτου τεταρτημορίου είναι σταθερό , ενώ το $P$ κινείται στον άξονα $y'y$ . Ο κύκλος

$(O,S,P)$ τέμνει τον $x'x$ , στο $Q$ . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο της προβολής $T$ , του $S$ στην ευθεία $PQ$ .

Θεώρημα;.png
To τετράπλευρο $ABCD$ είναι περιγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου $O.$ Οι κάθετες από το $A$ στις $AD, AB$

τέμνουν τις $DO, BO$ στα $M, N$ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι $\displaystyle AC \bot MN.$

Προοδευτική εφαπτομένη.png Η $AB$ είναι διάμετρος του κύκλου του σχήματος . Υπολογίστε την $\tan\theta$ .

Προς Γενικούς Συντονιστές, Διαχειριστές και Πάροχο.

Το mathematica σέρνεται και πάλι, όπως παλαιότερα, όταν κάποιος πάει να φορτώσει ένα ποστ. Μου πήρε $7$ λεπτά για κάποια φόρτωση.

Θα παρακαλούσα να κοιτάξετε το θέμα.

Ευχαριστούμε θερμα.

Υπολογίστε τον μη μηδενικό αριθμό $a$ , για τον οποίο η εξίσωση : $(ax^2-3x+5)^{x^2-9x+8}=1$ ,

έχει τέσσερις διαφορετικές ρίζες , οι οποίες είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής ή αριθμητικής προόδου .

Ομοκυκλικά λόγω συμμετρίας.png Στο οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$ , τα σημεία $P , Q$ , της πλευράς $BC$ , είναι συμμετρικά ως προς το ίχνος του ύψους $AD$ .

Ο κύκλος $(A , P , Q )$ τέμνει τις $AB , AC$ στα $S , T $ αντίστοιχα . Δείξτε ότι τα σημεία $B , S...

Ανάποδο μέγιστο.png Στη διάμετρο $AB=d$ , ενός ημικυκλίου κινείται σημείο $S$ . Με διάμετρο την $AS$ γράφουμε εσωτερικά

νέο ημικύκλιο κέντρου $K$ , από το μέσο $M$ του οποίου φέρουμε παράλληλη και ομόρροπη προς την $AB$ ,

η οποία τέμνει το τόξο...

Να λυθεί το σύστημα : $\left\{\begin{matrix}
3x^2+4xy+5y^2 &=20 \\
& \\
4x^2+5xy+5y^2-2x &=20 \\
\end{matrix}\right.$

Βρήκες μέσο ;.png Στο ορθογώνιο $ABCD$ , το $O$ είναι το κέντρο του και το $K$ το μέσο της $DC$ . Γράφουμε

τους κύκλους $(O , OA)$ και $ (K , KA)$ . Από σημείο $S$ του $(K)$ φέρουμε το $SA$ , το οποίο

τέμνει τον $(O)$ στο $T$ . Η $CT$ τέμνει την...

Χαιρετώ!
Το τρίγωνο $AOB$ είναι ορθογώνιο στο $O$. Το $E \in OA$ και δίνονται $OE=2, AE=20$ , ενώ $O \widehat EB=3 O \widehat AB$
Τριπλάσια γωνία και Πυθαγόρεια τριάδα.png

I) Να υπολογιστεί το $OB=x$

Το $M \in AB$ ώστε $EM\perp AB$ και το $Z$...

Ένα ωραίο αρθράκι (σχετικά απλό) για το Αξίωμα της Επιλογής και άλλα συναφή αξιώματα της Συνολοθεωρίας

εδώ

Ανόμοια αλλά ισοδύναμα.png $\bigstar$ Στο ορθογώνιο $ABCD$ του σχήματος , εξηγήστε γιατί η πράσινη και η γαλάζια περιοχή έχουν το ίδιο εμβαδόν .

Ερώτημα προς μεγαλύτερους : Πόσο είναι το εμβαδόν του πράσινου τριγώνου ;

Εμπνευσμένο από το θέμα της Γεωμετρίας εδώ :

Βαλκανικές συμπληρωματικές.png Το $H$ είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου $ABC$ . Με το σημείο $D$ συμπληρώνουμε το παραλληλόγραμμο $ABCD$ .

Η $DH$ τέμνει την $AB$ στο σημείο $S$ . Δείξτε ότι οι γωνίες...

LII Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα, Μόσχα 14-20 Απριλίου 2026
Θέματα της δεύτερης μέρας για την 11η τάξη.

1. Ο Αλέξανδρος τοποθέτησε ένα πιόνι σε ένα από τα σημεία του καρτεσιανού επιπέδου. Με μια κίνηση επιτρέπεται να μετακινηθεί το πιόνι, που...

Καλημέρα και καλή Ανάσταση!
Το τρίγωνο $ABC$ έχει γωνία $ \angle A=80^o $, ενώ$AB=AC$

Το σημείο $H \in BC$ ώστε το $AB$ να είναι μέσος ανάλογος των $BH,BC$.

Το σημείο $E \in AC$ ώστε ο κυκλικός ημιδίσκος διαμέτρου $BC$να έχει τριπλάσιο εμβαδόν...

Λίγο παραπάνω.png Σημείο $S$ κινείται στο εσωτερικό της πλευράς $AB=a$ , του τετραγώνου $ABCD$ . Φέρω : $DT \perp CS$ .

Δείξτε ότι : $(DTS) >(DAS)$ και υπολογίστε την διαφορά $(DTS) -(DAS)$ , όταν : $AS=\dfrac{2a}{3}$ .

Αν χρησιμοποιήσετε...

Ραγδαίως αύξουσα.png Σημείο $S$ κινείται στην διάμετρο $AB=2r$ ενός ημικυκλίου , έτσι ώστε : $SB=x , (x
Θεωρώ σημείο $C$ του τόξου και φέρω $ST \perp AC , SQ \perp BC$ . Η $TQ$ τέμνει την προέκταση

της $AB$ στο σημείο $P$ . Υπολογίστε το...

Από 3 έως 8 Μαΐου πραγματοποιείται στη Θεσσαλονίκη η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα Λυκείου. Σήμερα έγινε ο διαγωνισμός και, αν κάποιος έχει τα θέματα, ας τα αναρτήσει.

Καλή επιτυχία σε όλα τα παιδιά που εκπροσωπούν τη χώρα μας! Εύχομαι όμορφα...

Δίνεται τρίγωνο $ABC$, $\omega$ ο εγγεγραμμένος κύκλος του, και $D,\,E$ και $F$ είναι τα σημεία επαφής του $\omega$
με τις πλευρές $BC, \, CA$ και $AB$ αντίστοιχα. Οι κάθετες της $BC$ στα σημεία $B$ και $C$ τέμνουν την
ευθεία $EF$ στα σημεία $M$...

Σοβαρή διασκέδαση.png Στο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ , με : $AB=8 , AC=5$ , η διάμεσος $AM$ και η διχοτόμος $CD$ , τέμνονται στο $S$ .

Τα τμήματα $DM , BS$ , τέμνονται στο $T$ . Βρείτε - έστω και προσεγγιστικά - τα : $\omega , CD-AM ,...

Ισόπλευρο σε ισόπλευρο.png
Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο $ABC$ πλευράς $a$ και τα σημεία $D, E, Z$ των πλευρών $BC, CA, AB$ αντίστοιχα, ώστε

$BD=CE=AZ=\dfrac{a}{3}.$ Οι $AD, BE, CZ$ τέμνονται στα σημεία $S, P, T.$ Να υπολογίσετε το λόγο...

Η διάμεσος και ο μέσος.png Υπάρχει τρίγωνο $ABC$ στο οποίο η διάμεσος $AM$ , να είναι ο γεωμετρικός μέσος των $AB , AC$ ;

Φυσικά , αλλά το τρίγωνο του σχήματος , ( όπου : $c=4 , b=9 , AM=6$ ) , είναι αμβλυγώνιο .

Υπάρχει άραγε οξυγώνιο τρίγωνο με...

Ακέραιο εμβαδόν.png Στο εσωτερικό του κύκλου $( O , 4)$ , βρίσκεται σημείο $K$ , τέτοιο ώστε : $OK=2$ . Με ακτίνα $r , (r<2)$ ,

γράφω κύκλο $(K , r)$ , τέτοιον ώστε αν από τυχόν σημείο $A$ του $(O)$ φέρω τις εφαπτόμενες προς τον $(K)$

χορδές $AB$...