Διπλή ελαχιστοποίηση.png Εντοπίστε σημείο S του κύκλου , τέτοιο ώστε το άθροισμα SA^2+SB^2 , να είναι ελάχιστο .

Προαιρετικά : Διερευνήστε αν μπορείτε να κάνετε το ίδιο για το άθροισμα : SA+SB .

Τρείς ορθές και τρία μέσα.png Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC , το M είναι το μέσο της AB και το A' το συμμετρικό

του A ως προς B . Η κάθετη της CB στο B τέμνει την μεσοκάθετη του MB στο S .

Ονομάζουμε T την προβολή του A' στην ευθεία CM . Δείξτε ότι :...

Τόπος με θέα.png Στις κάθετες στα άκρα της διαμέτρου AB του ημικυκλίου του σχήματος , κινούνται σημεία D , C , τέτοια

ώστε το τμήμα DC να εφάπτεται του τόξου . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο της τομής S των AC , BD .

Νέος γεωμετρικός μέσος.png Οι κύκλοι (O) και (K) εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο A . Από σημείο S του (K) , φέρουμε

την SA , της οποίας η προέκταση τέμνει τον (O) στο Q και το εφαπτόμενο στον (O) τμήμα SP ,

το οποίο τέμνει τον (K) στο T . Δείξτε...

Βρήκα κάπου το παρακάτω μοτίβο σε LaTeX, το οποίο δημιουργεί φύλλα Α4 με κουκκίδες. Οι παλαιότεροι ίσως να τα θυμούνται.
Έχω συνάψει και ένα PDF για να δείτε το αποτέλεσμα.

\documentclass{article}
\pagenumbering{gobble}
\usepackage {geometry}...

Η τέταρτη κορυφή.png Στην διχοτόμο γωνίας \widehat{xOy} , βρίσκεται σταθερό σημείο S . Μεταβλητός κύκλος διερχόμενος από τα O , S ,

τέμνει τις Ox , Oy στα σημεία P , T αντίστοιχα . Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος της τέταρτης κορυφής Q

του...

Αλλαγή ώρας.png
.
Σε μια μακρινή χώρα αποφάσισαν νέους κανονισμούς για τη μέτρηση των ωρών της ημέρας. Μια μέρα χωρίζεται σε δύο ίσα μέρη, τα μεσάνυχτα και το μεσημέρι, όπως κάνουμε και εμείς. Ωστόσο αντί να διαιρούν αυτά τα χρονικά διαστήματα σε...

ΔΕΗ.png
.
Σε έναν δρόμο μήκους 270 m υπάρχουν τρεις κολόνες της ΔΕΗ, όπως δείχνει η εικόνα. Οι μεταξύ τους αποστάσεις είναι 126 m και 144 m. Ποιος είναι ο μικρότερος δυνατός αριθμός από κολόνες που πρέπει να προστεθούν στα ενδιάμεσα σημεία αν...

Άλλαξε το LaTeX system που κάνει render τις εξισώσεις και πλέον δουλεύει άψογα και το align* και το equation, δηλ.

$$\begin{align*}
f(x) &= e^x \\
&= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}
\end{align*}$$

χωρίς να χρειάζεται να βάλω το αντίστοιχο...

Στο αστυνομικό μαθηματικό τμήμα προσήχθη η γραφική παράσταση του σχήματος .
Καλείσθε να αναγνωρίσετε την συνάρτηση στην οποία ανήκει . :shock:

Επαφή με απαιτήσεις.png Από σημείο S της προέκτασης της ακτίνας OA=r ενός κύκλου , φέρουμε το εφαπτόμενο

τμήμα SP . Να βρεθεί εκείνη η θέση του S , για την οποία είναι : AS=2AP .

Από τις εισαγωγικές εξετάσεις σε πρότυπα λύκεια 2024.
Την βάζω και προς λύση και προς σχολιασμό.

Καθετότητα.png

Δίδεται τρίγωνο $ABC$ εγγεγραμμένο σε κύκλο $\left( O \right)$ και $D$ το σημείο επαφής

του εγγεγραμμένου του κύκλου $\left( I \right)$ με την πλευρά $BC$.

Η ευθεία που ορίζεται από το νότιο πόλο , $S$, του $\vartriangle ABC$ με...

Πόσοι κύβοι δεν είναι ορατοί ;

Δίνεται ένα σκαληνό τρίγωνο $ABC$ με $AB<BC<AC$ και σημείο $P$ του τόξου $BC$ που δεν περιέχει την κορυφή $A$
του περιγεγραμμένου κύκλου $\Omega$ του $\triangle ABC$, έτσι ώστε $BP+CP=AP$. Από το $P$ φέρουμε παράλληλη προς τη $BC$
που τέμνει για...

Να το συμμετρικό.png Από σημείο T της προέκτασης της διαμέτρου AOB ενός κύκλου , φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα

TP . Η κάθετη της AT στο T , τέμνει την προέκταση της AP στο σημείο N , ενώ η ευθεία NB

ξανατέμνει τον κύκλο στο σημείο S . Δείξτε ότι...

.
Ο Γιάννης και οι συμμαθητές του στέκονται σε μια ουρά, ο ένας πίσω από τον άλλο. Το πλήθος τους είναι περιττός αριθμός, και μάλιστα πολλαπλάσιο του 3 . Ο Γιάννης στέκεται ακριβώς στην μέση της ουράς. Παρατήρησε ότι οι δύο καλύτεροί του φίλοι...

μετατροπή λόγου.png Στην διχοτόμο της γωνίας \widehat{xOy} , βρίσκεται σημείο A . Η μεσοκάθετος του OA , τέμνει την Ox

στο σημείο K . Θεωρούμε σημείο Q της Ox , τέτοιο ώστε : KQ=3OK . Η ημιευθεία QA

τέμνει την Oy στο σημείο S και την μεσοκάθετο...

Καλημέρα!
Έχουμε τρίγωνο με πλευρές $ 5 , 5$ και $8$ μονάδες. Αυξάνουμε κάθε πλευρά κατά 10

και το νέο τρίγωνο έχει πλευρές με $15 ,15$ και $18$ μονάδες.

Να δείξετε με μια εικόνα πόσες φορές μεγαλύτερο είναι το εμβαδόν του νέου τριγώνου
σε...

Σε ένα ορθογώνιο τετραγωνισμένο πλέγμα ,οσοδήποτε μεγάλο (θεωρητικά άπειρο) προς τις τέσσερις κατευθύνσεις, ένα πιόνι κινείται κάθετα και οριζόντια στα τετραγωνάκια , χωρίς ποτέ να οπισθοδρομεί , και η επόμενη κίνηση πραγματοποιείται μόνο αν είναι...

Χαμός ισοτήτων.png Σημείο S βρίσκεται σε τμήμα AB , πλησιέστερα προς το B . Γράφω στο ίδιο ημιεπίπεδο τα ημικύκλια

με διαμέτρους τις AS , SB . Η μεσοκάθετος του AB τέμνει το μεγαλύτερο ημικύκλιο στο σημείο N ,

ενώ η NB τέμνει το μικρότερο στο...

Στις πλευρές $AB$ και $AC$ θεωρούμε τα σημεία $D$ και $E$ αντίστοιχα, έτσι ώστε $DE \parallel BC$. Ένα σημείο $F$ στην πλευρά
$BC$ είναι τέτοιο ώστε $FD = FE$. Οι κύκλοι $(BFD)$ και $(CFE)$ τέμνονται για δεύτερη φορά στο σημείο $X$.
Να αποδείξετε...

Μετά την αναβάθμιση του :logo: αντιμετωπίζω κάποια προβλήματα. Όταν πατάω για να δω ένα θέμα(topic) μου εμφανίζει αυτόματα την τελευταία δημοσίευση που έγινε μέσα σε αυτό και πρέπει να κάνω σκρολ για να δω την άσκηση που ανέβηκε. Αυτό είναι...

\displaystyle \int \limits_{1}^{n}g\left ( r \right )dr=\sum_{i=1}^{n-1}\int \limits_{i}^{i+1}g\geqslant \sum_{i=1}^{n-1}g\left ( i \right )

Καλησπέρα. Εδώ η κατάσταση με την εμφάνιση της γραφής είναι επιεικώς ντροπιαστική για οποιονδήποτε χρήστη...

Καλησπέρα,

Καταρχάς καλή επιτυχία σε όλα τα μέλη της Ελλάδας και της Κύπρου! :first:

Αν κάποιος έχει τα σημερινά θέματα, ας τα αναρτήσει.