Εμβαδολόγιο

KARKAR · #1

: Εμβαδολόγιο 7.png (12.43 KiB) Προβλήθηκε 164 φορές

Αξιοποιώντας τα δεδομένα του σχήματος , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{(ABC)}{(SBC)}$ .

Dimessi · #2

3 φορές το κοίταξα το βρήκα εν τέλει

#3

KARKAR έγραψε: Πέμ Νοέμ 12, 2026 9:01 am Αξιοποιώντας τα δεδομένα του σχήματος , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{(ABC)}{(SBC)}$ .

: Εμβ 6.png (17.83 KiB) Προβλήθηκε 128 φορές

.
Από Ceva είναι

\dfrac {3}{2} \cdot \dfrac {4}{3} \cdot \dfrac {y}{x} =1

. Άρα

\dfrac {y}{x}= \dfrac {1}{2}

, που σημαίνει

x=\dfrac {2a}{3}, \,y=\dfrac {a}{3}

.

Από Μενέλαο στο AFC

με διατέμνουσα την BSE

είναι

\dfrac {AS}{SF} \cdot \dfrac {\dfrac {2a}{3}}{a} \cdot \dfrac {3}{4} =1

. Άρα

\dfrac {AS}{SF} =2

, οπότε και

\dfrac {AF}{SF} =\dfrac {AS+SF}{SF} =3

. Τέλος, δεδομένου ότι τα

ABC, \, SBC

έχουν κοινή βάση, έπεται

\boxed {\dfrac{(ABC)}{(SBC)} = \dfrac {AF}{SF}=3}

Η φράση "3 φορές το κοίταξα το βρήκα εν τέλει" του Δημήτρη στο προηγούμενο ποστ είναι προφανώς λογοπαίνιο που δίνει την σωστή απάντηση,

.

#4

Χρησιμοποιώ το αμέσως προηγούμενο σχήμα του Μιχάλη.

$\bullet$ Από

\dfrac{y}{x}=\dfrac{1}{2}

$\Rightarrow$

\boxed{EK=2}

όπου $K\in AC$ ώστε να είναι

FK\parallel BE

.

Έστω $M,\ N,$ τα μέσα των

AE,\ AS

αντιστοίχως και από

\boxed{AM=ME=EK=2}

και

MN\parallel SE\parallel FK

$\Rightarrow$

\boxed{AN=NS=SF} \ \ ,(1)

Από

$\Rightarrow$

\boxed{\dfrac{(ABC)}{(SBC)}=3}

και το ζητούμενο έχει υπολογιστεί.

Κώστας Βήττας.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: Πέμ Νοέμ 12, 2026 9:01 am Εμβαδολόγιο 7.pngΑξιοποιώντας τα δεδομένα του σχήματος , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{(ABC)}{(SBC)}$ .

Από VAN AUBEL

\dfrac{AS}{SZ}= \dfrac{2}{3} + \dfrac{4}{3}=2

κι αν

κ.βάρους του $\triangle ABC$

θα είναι

\dfrac{AG}{GM} =2

άρα

SG//BC

οπότε

(BSC)=(GBC)= \dfrac{(ABC)}{3}

(γνωστό)

: Εμβαδολόγιο.png (24.64 KiB) Προβλήθηκε 94 φορές

#6

KARKAR έγραψε: Πέμ Νοέμ 12, 2026 9:01 am Εμβαδολόγιο 7.pngΑξιοποιώντας τα δεδομένα του σχήματος , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{(ABC)}{(SBC)}$ .

Θ. $Van\,Aubel$ ,

\boxed{\frac{{AS}}{{ST}} = \frac{2}{3} + \frac{4}{3} = 2 \Rightarrow \frac{{AS}}{{AT}} = 3 \Rightarrow \frac{{(ABC)}}{{(SBC)}} = 3}

Μετά είδα ότι έχουμε την ίδια λύση με το Μιχάλη το Τσουρακάκη. Το αφήνω αν και είμαι στο ίδιο μήκος κύματος

Γενικά όλες οι λύσεις είναι παρόμοιες

p_gianno · #7

: Στιγμιότυπο οθόνης 2026-11-13 205850Εμβαδολόγιο.png (35.21 KiB) Προβλήθηκε 40 φορές

Με θεώρημα Μενελάου στο τρίγωνο

ADC

και διατέμνουσα

BE

παίρνουμε

\dfrac{SC}{DS}=\dfrac{5}{4}

Άρα

(BSC)= \dfrac{5}{9} (DBS)= \dfrac{5}{9} \cdot\dfrac{3}{5}(ABC)= \dfrac{1}{3}(ABC)

Εμβαδολόγιο

Εμβαδολόγιο

Re: Εμβαδολόγιο

Re: Εμβαδολόγιο

Re: Εμβαδολόγιο

Re: Εμβαδολόγιο

Re: Εμβαδολόγιο

Re: Εμβαδολόγιο

Μέλη σε σύνδεση