Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)

Συντονιστές: Demetres, socrates, silouan

Νέο Θέμα

Επισήμανση θεμάτων ως αναγνωσμένα • 44 θέματα

Ανακοινώσεις

Απαντήσεις

Προβολές

Τελευταία δημοσίευση

Διαδικτυακό Μαθηματικό Περιοδικό «Μελέτη»

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές « Κυρ Μαρ 14, 2021 10:02 pm
Δημοσιεύτηκε σε Γενικά Μηνύματα
Απαντήσεις: 5
από Γενικοί Συντονιστές » Σάβ Μαρ 11, 2017 5:04 pm » σε Γενικά Μηνύματα

μελέτη

περιοδικό

Αγαπητοί φίλοι,

Με ιδιαίτερη χαρά ανακοινώνουμε την κυκλοφορία του πρώτου μας διαδικτυακού μαθηματικού περιοδικού απευθυνόμενο στους μαθητές της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης.

Το περιοδικό «Μελέτη» απευθύνεται σε μαθητές Γυμνασίου και Λυκείου και...

5 Απαντήσεις

221412 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές
Κυρ Μαρ 14, 2021 10:02 pm
Ενεργοποίηση Λέξεων Κλειδιά (tags) στο mathematica!

Τελευταία δημοσίευση από Al.Koutsouridis « Τετ Φεβ 20, 2019 12:52 pm
Δημοσιεύτηκε σε Γενικά Μηνύματα
Απαντήσεις: 10
από cretanman » Τρί Σεπ 27, 2016 1:19 pm » σε Γενικά Μηνύματα

tags

κλειδί

λέξη

Λέξη-κλειδί

οδηγίες

Πλέον μπορούμε να προσθέσουμε λέξεις κλειδιά (tags στα αγγλικά) στις δημοσιεύσεις μας για πιο γρήγορη αναζήτηση από τους χρήστες. Και πάλι πρέπει να ευχαριστήσουμε τον Γιώργο Μαργαρίτη αφού με τη βοήθειά του μπορούμε να γράφουμε λέξεις - κλειδιά και...

10 Απαντήσεις

266438 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Al.Koutsouridis
Τετ Φεβ 20, 2019 12:52 pm
Η Αρμονική Γεωμετρία του Νίκου Κυριαζή

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές « Κυρ Ιαν 10, 2016 2:44 pm
Δημοσιεύτηκε σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

από Γενικοί Συντονιστές » Κυρ Ιαν 10, 2016 2:44 pm » σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

Αρμονική-Γεωμετρία

Πληροφορούμε με μεγάλη χαρά μας τα μέλη και τους επισκέπτες του mathematica ότι το διακεκριμένο μέλος μας ο Γεωμέτρης Νίκος Κυριαζής ανήρτησε στο mathematica το βιβλίο του Αρμονική Γεωμετρία
Τον συγχαίρουμε, τον ευχαριστούμε θερμά και του ευχόμαστε...

0 Απαντήσεις

249725 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές
Κυρ Ιαν 10, 2016 2:44 pm
Γ' Λυκείου: Μία συλλογή ασκήσεων στα Μαθηματικά Γ. Παιδείας

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές « Κυρ Μάιος 06, 2012 11:43 pm
Δημοσιεύτηκε σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

από Γενικοί Συντονιστές » Κυρ Μάιος 06, 2012 11:43 pm » σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

Αναρτούμε την νέα δουλειά στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας που συνέθεσαν τα μέλη μας
Γιώργος Απόκης , Βασίλης, Κακαβάς, Δημήτρης Κατσίποδας, Χρήστος Κανάβης, Περικλής Παντούλας, Κώστας Τηλέγραφος, Χρήστος Τσιφάκης, Μάκης Χατζόπουλος
Το εξώφυλλο...

0 Απαντήσεις

323996 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές
Κυρ Μάιος 06, 2012 11:43 pm
Γ' Λυκείου: Μία συλλογή ασκήσεων στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης.

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές « Δευ Απρ 09, 2012 11:06 am
Δημοσιεύτηκε σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

από Γενικοί Συντονιστές » Δευ Απρ 09, 2012 11:06 am » σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

Με μεγάλη μας χαρά αναρτούμε το βιβλίο
Γ' Λυκείου: Μία συλλογή ασκήσεων στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης.
που συνέθεσαν οι συνάδελφοι μέλη του mathematica
Βασίλης Κακαβάς , Δημήτρης Κατσίποδας , Περικλής Παντούλας , Κώστας Τηλέγραφος , Παναγιώτης...

0 Απαντήσεις

355883 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές
Δευ Απρ 09, 2012 11:06 am
Εικοσιδωδεκάεδρον (τεύχος 26)

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές « Δευ Οκτ 28, 2024 4:13 pm
Δημοσιεύτηκε σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια
Απαντήσεις: 23
από Γενικοί Συντονιστές » Πέμ Νοέμ 18, 2010 11:04 pm » σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια
1

2
Εικοσιδωδεκάεδρον

Αγαπητοί Φίλοι
Με χαρά μας αναρτούμε το πρώτο φύλλο αποδελτίωσης του mathematica που περιέχει ένα δείγμα από το πλούσιο υλικό που με την δική σας συμβολή υπάρχει στον ιστότοπο μας.
Η επιλογή έγινε από τους αρμόδιους επιμελητές του αντίστοιχου...
23 Απαντήσεις

647339 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές
Δευ Οκτ 28, 2024 4:13 pm

Θέματα

Απαντήσεις

Προβολές

Τελευταία δημοσίευση

Παιχνίδια με πλακάκια

Τελευταία δημοσίευση από ∫ot.T. « Κυρ Μάιος 24, 2026 5:48 pm
Απαντήσεις: 10
από ∫ot.T. » Δευ Αύγ 04, 2025 7:54 pm

Ορθογώνια

Πλέγμα

Έχουμε $n$ ορθογώνια με ακέραιου μήκους πλευρές. Τα τοποθετούμε στο επίπεδο ώστε να μην έχουμε επικάλυψη και οι πλευρές τους να είναι παράλληλες στους άξονες. Αν μερικές κορυφές ταυτιστούν τις μετράμε ως μία. Να αποδειχθεί ότι δεν μπορεί να...

10 Απαντήσεις

2107 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από ∫ot.T.
Κυρ Μάιος 24, 2026 5:48 pm
Άθροισμα, ψάχνω διαφορετική απόδειξη

Τελευταία δημοσίευση από Dimessi « Δευ Οκτ 13, 2025 5:19 pm
Απαντήσεις: 4
από ∫ot.T. » Τρί Οκτ 07, 2025 1:56 pm

άθροισμα

συνδυαστική

Για κάθε ακέραιο $n>1$ να αποδειχθεί ότι

$\displaystyle 3\sum_{k=1}^{\left \lfloor \frac{n}{2}\right \rfloor}\binom{n-k}{k} 2^{k-1} =2^{n}-1 - n(mod2)$

4 Απαντήσεις

914 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Dimessi
Δευ Οκτ 13, 2025 5:19 pm
Μέγιστο πλήθος αθροισμάτων

Τελευταία δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ « Πέμ Νοέμ 28, 2024 7:50 pm
Απαντήσεις: 5
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Νοέμ 14, 2024 8:39 am

αθροίσματα

μέγιστο

Δίνονται $n$ πραγματικοί $x_i\geq 1$
Σχηματίζουμε όλα τα δυνατά αθροίσματα $\sum_{i=1}^{n}\varepsilon _ix_i $ όπου είναι $ \varepsilon _i=\pm 1$
Πόσα το πολύ από αυτά μπορούν να βρίσκονται σε ένα διάστημα μήκους $2$ το οποίο δεν περιέχει...

5 Απαντήσεις

2575 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Πέμ Νοέμ 28, 2024 7:50 pm
Παιχνίδι με σημέα στο χώρο, άλυτη στο aops!!

Τελευταία δημοσίευση από Κυριάκος Τσουρέκας « Δευ Ιουν 03, 2024 5:39 pm
Απαντήσεις: 1
από Κυριάκος Τσουρέκας » Πέμ Μάιος 23, 2024 9:30 pm

ακέραια-σημεία

παιχνίδι

Θεωρούμε το σύνολο όλων των σημείων στο χώρο με ακέραιες συντεταγμάνες. Η Αλίκη και ο Βασίλης παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι. Αρχικά, η Αλίκη επιλέγει κάποιο σημείο. Στη συνέχεια, ο Βασίλης χρωματίζει όλα τα σημεία ενός επιπέδου κάθετου σε έναν από...

1 Απαντήσεις

2115 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Κυριάκος Τσουρέκας
Δευ Ιουν 03, 2024 5:39 pm
ΕΝ ΟΨΕΙ ... ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΥ

Τελευταία δημοσίευση από S.E.Louridas « Παρ Μαρ 22, 2024 8:54 pm

από S.E.Louridas » Παρ Μαρ 22, 2024 8:54 pm

Αριθμός

Επιτρέψτε μου (Εν όψη του επερχόμενου προκριματικού σε δύο εβδομάδες) να προτείνω ένα πρόβλημα που έχει τεθεί σε επίσημο διαγωνισμό (Θα σας πληροφορήσω μετά από ενασχολήσεις με το πρόβλημα αυτό σε ποιόν, αν και οι παροικούντες γνωρίζουν ...) και που...

0 Απαντήσεις

2097 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από S.E.Louridas
Παρ Μαρ 22, 2024 8:54 pm
Σημεία σε τετράγωνο

Τελευταία δημοσίευση από socrates « Τρί Μαρ 28, 2023 2:16 pm
Απαντήσεις: 2
από Demetres » Πέμ Νοέμ 10, 2016 3:29 pm

1965

άλυτη

πανρωσική

τάξη-9

Μπήκε για τάξη 9 (Γ Γυμνασίου;) αλλά την θεωρώ δύσκολη. Αν κάποιος έχει στατιστικά για το πόσοι κατάφεραν να την λύσουν ή να κάνουν σημαντική πρόοδο θα ήθελα να τα δω.

Μπορούμε να τοποθετήσουμε $1965$ σημεία μέσα σε ένα μοναδιαίο τετράγωνο ώστε...

2 Απαντήσεις

6859 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από socrates
Τρί Μαρ 28, 2023 2:16 pm
Ν σημεία σε έναν κύκλο

Τελευταία δημοσίευση από Demetres « Τετ Αύγ 24, 2022 2:59 pm
Απαντήσεις: 1
από Κυριάκος Τσουρέκας » Σάβ Αύγ 06, 2022 6:43 pm

κύκλος

σημεία

Δεν είναι δική μου...:

Υπάρχουν $n$ σημεία σε έναν κύκλο, έτσι ώστε κάθε ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο σημεία να είναι είτε μπλε ή κόκκινο. Δίνεται επίσης ότι τα $P_iP_j$ και $P_{i+1} P_{j+1}$ είναι διαφορετικού χρώνατος, για κάθε $i, j$ στο...

1 Απαντήσεις

2823 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Demetres
Τετ Αύγ 24, 2022 2:59 pm
Βασίλισσες σε σκακιέρα

Τελευταία δημοσίευση από socrates « Πέμ Ιούλ 21, 2022 5:22 pm
Απαντήσεις: 1
από silouan » Πέμ Απρ 13, 2017 4:12 pm

βασίλισσες

σκακιέρα

Να βρεθεί το μέγιστο πλήθος από βασίλισσες που μπορούν να τοποθετηθούν σε μια $2017 \times 2017$ σκακιέρα έτσι ώστε κάθε βασίλισσα να επιτίθεται το πολύ σε άλλη μία βασίλισσα.

1 Απαντήσεις

4025 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από socrates
Πέμ Ιούλ 21, 2022 5:22 pm
Κι όμως υπάρχει απάντηση

Τελευταία δημοσίευση από 2nisic « Τρί Φεβ 09, 2021 1:29 pm

από 2nisic » Τρί Φεβ 09, 2021 1:29 pm

Συνδιαστικη-σε-τετράγωνο

Υποθέστε πως βρίσκεσται σε ένα τετράγωνο με πλευρές καθρέφτες απεναντη σας βρίσκεται ένας εχθρός σάς πού κρατάει ένα λέιζερ(το λέιζερ αντανακλάται στους καθρέφτες).Αν το λέιζερ σας ακουμπήσει πεθαινετε.Μπορειτε να τοποθετήσετε στηλους οι οποίοι...

0 Απαντήσεις

2683 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από 2nisic
Τρί Φεβ 09, 2021 1:29 pm
Σημεία από Εσθονία

Τελευταία δημοσίευση από Demetres « Τετ Οκτ 07, 2020 9:56 am
Απαντήσεις: 1
από DrStrange » Δευ Οκτ 05, 2020 8:39 pm

σημεία

συνδυαστική

σύνδεση

τρίγωνο

Έστω $k$ ένας θετικός ακέραιος. Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι $n$, ώστε γίνεται να επιλεχθούν $n$ διαφορετικά σημεία στις πλευρές ενός τριγώνου (διαφόρων των κορυφών του) και να συνδέσουμε μερικά από αυτά με μια ευθεία, ώστε να ισχύουν οι...

1 Απαντήσεις

3106 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Demetres
Τετ Οκτ 07, 2020 9:56 am
Άθροισμα γινομένων διωνυμικών

Τελευταία δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας « Τρί Απρ 14, 2020 8:12 pm
Απαντήσεις: 6
από Λάμπρος Κατσάπας » Δευ Απρ 13, 2020 1:17 am

διωνυμικός-συντελεστής

Μου προέκυψε από κατασκευή μοντέλου δειγματοληψίας. Ενδεχομένως να έχει ξανατεθεί εδώ στο :logo: .

Να δείξετε ότι $\displaystyle \sum_{r=k}^{k+b}\binom{r}{k}\binom{n-r}{b-r+k}=\binom{n+1}{b}.$

6 Απαντήσεις

4684 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας
Τρί Απρ 14, 2020 8:12 pm
Συμμετρίες

Τελευταία δημοσίευση από gbaloglou « Σάβ Ιαν 25, 2020 8:38 pm
Απαντήσεις: 5
από Λάμπρος Κατσάπας » Παρ Ιαν 17, 2020 12:05 am

συμμετρία

Έχουμε στη διάθεσή μας ένα τετράγωνο το οποίο είναι χωρισμένο σε $4$ ίσα μικρότερα τετράγωνα.

Σε κάθε μικρό τετράγωνο γράφουμε το γράμμα $J$. Τα μικρά τετράγωνα μπορούμε

μόνο να τα περιστρέψουμε και να τα ξαναενώσουμε ώστε να φτιάξουμε το μεγάλο...

5 Απαντήσεις

4349 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από gbaloglou
Σάβ Ιαν 25, 2020 8:38 pm
Κβαντ 2541

Τελευταία δημοσίευση από Al.Koutsouridis « Σάβ Δεκ 28, 2019 2:02 pm

από Al.Koutsouridis » Σάβ Δεκ 28, 2019 2:02 pm

Κβαντ

συνδιαστική-γεωμετρία

Το επίπεδο είναι διαμερισμένο σε κυρτά επτάγωνα μοναδιαίας διαμέτρου. Να αποδείξετε, ότι οποιοσδήποτε κύκλος ακτίνας $200$ τέμνει τουλάχιστον ένα εκατομμύριο από αυτά τα επτάγωνα. (Διάμετρος πολυγώνου ορίζεται ως η μέγιστη εκ των αποστάσεων ζευγών...

0 Απαντήσεις

3178 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Al.Koutsouridis
Σάβ Δεκ 28, 2019 2:02 pm
Κάθε 8-αδα μεταξὺ τῶν 1,2,...,30 περιέχει δύο 4-δες μὲ τὸ ἴδιο ἄθροισμα.

Τελευταία δημοσίευση από Demetres « Πέμ Δεκ 12, 2019 7:25 pm
Απαντήσεις: 2
από Γ.-Σ. Σμυρλής » Τρί Δεκ 10, 2019 11:52 pm

Συνδυασμοί

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ὁποιαδήποτε ὀκτάδα ἀκεραίων στὸ $\{1,2,\ldots,30\}$ περιέχει δύο διαφορετικὲς τετράδες μὲ τὸ ἴδιο ἄθροισμα.

ΣΧΟΛΙΑ.

(i) Τὸ πρόβλημα τὸ βρῆκα σὲ δύο ἰστοσελίδες καὶ λογικὰ ἔχει σχετικῶς ἁπλὴ λύση, ποὺ δὲν ἔχω κατορθώσει νὰ βρῶ.

(ii)...

2 Απαντήσεις

3287 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Demetres
Πέμ Δεκ 12, 2019 7:25 pm
Εύρεση συνάρτησης

Τελευταία δημοσίευση από Demetres « Σάβ Οκτ 19, 2019 10:52 am
Απαντήσεις: 1
από Λάμπρος Κατσάπας » Πέμ Οκτ 17, 2019 11:02 pm

συνάρτηση-συνδυασμοί

Παρατηρήστε το παρακάτω μοτίβο.

$1 2 3,
1 2 4,
1 2 5,
1 2 6,
1 3 4,
1 3 5,
1 3 6,
1 4 5,
1 4 6,
1 5 6,
2 3 4,
2 3 5,
2 3 6,
2 4 5,
2 4 6,
2 5 6,
3 4 5,
3 4 6,
3 5 6,
4 5 6,$

Είναι όλοι οι συνδυασμοί των $6$ στοιχείων του $\left \{ 1,2,3,4,5,6...

1 Απαντήσεις

3119 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Demetres
Σάβ Οκτ 19, 2019 10:52 am
Πλήθος διατάξεων σφαιρών

Τελευταία δημοσίευση από Demetres « Τετ Οκτ 16, 2019 10:35 am
Απαντήσεις: 2
από Λάμπρος Κατσάπας » Κυρ Οκτ 13, 2019 12:25 am

διάταξη

μπάλες

Έχουμε στη διάθεσή μας καποιόν αριθμό από όμοιες μπάλες και θέλουμε να τις διατάξουμε σε σειρές.

Σε κάθε σειρά οι μπάλες πρέπει να εφάπτονται και επιπλέον κάθε μπάλα,

όχι της κάτω σειράς, να εφάπτεται με δύο μπάλες της ακριβώς από κάτω σειράς....

2 Απαντήσεις

3489 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Demetres
Τετ Οκτ 16, 2019 10:35 am
Φρουτεμπορική

Τελευταία δημοσίευση από Demetres « Δευ Αύγ 12, 2019 11:39 am
Απαντήσεις: 3
από Al.Koutsouridis » Πέμ Αύγ 08, 2019 10:59 am

συνδιαστική

Σε εκατό κούτες είναι τοποθετημένα πορτοκάλια, μήλα και μπανάνες. Αποδείξτε ότι μπορούμε να διαλέξουμε $51$ κούτες, στις οποίες συνολικά υπάρχουν από όλα τα πορτοκάλια τουλάχιστον τα μισά, από όλα τα μήλα τουλάχιστον τα μισά και από όλες τις...

3 Απαντήσεις

3340 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Demetres
Δευ Αύγ 12, 2019 11:39 am
Ερώτηση για συναρτήσεις σε συνδυαστική

Τελευταία δημοσίευση από miltosk « Τετ Αύγ 07, 2019 4:52 pm

από miltosk » Τετ Αύγ 07, 2019 4:52 pm

συνδυαστική-συναρτήσεις

Δεν ήξερα που να το τοποθετήσω και το έβαλα σε αυτό το φάκελο.
Θα ήθελα να ρωτήσω αν γνωρίζετε κάποιο άρθρο ή βιβλίο (θα με ενδιέφερε περισσότερο κάτι διαδικτυακό) το οποίο να αναλύει την τεχνική χρήσης συναρτήσεων για την επίλυση προβλημάτων...

0 Απαντήσεις

3066 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από miltosk
Τετ Αύγ 07, 2019 4:52 pm
Προφανές ή μήπως όχι;

Τελευταία δημοσίευση από Mihalis_Lambrou « Παρ Ιουν 14, 2019 6:14 pm
Απαντήσεις: 1
από JimNt. » Παρ Ιουν 14, 2019 4:55 pm

σύνολα

Υπάρχει θετικός ακέραιος $n$ ώστε αν τα στοιχεία δύο τυχαίων (στοιχείων και μεγέθους) συνόλων φυσικών ακεραίων ($\mathbb{Z^{+}}, 0$) $A=\{a_1,..,a_m\}$, $B=\{b_1,...,b_m\}$ ικανοποιούν τις σχέσεις $a_1^i+..+a_m^i=b_1^i+...+b_m^i$ για κάθε $i \in...

1 Απαντήσεις

3300 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Mihalis_Lambrou
Παρ Ιουν 14, 2019 6:14 pm
Χρωματισμός πλέγματος

Τελευταία δημοσίευση από sokpanvas « Πέμ Δεκ 27, 2018 8:33 pm
Απαντήσεις: 2
από sokpanvas » Πέμ Δεκ 27, 2018 4:35 pm

σκακιέρα

Ο Γιώργος έχει ένα $11\times 38$ πλέγμα λευκών τετραγώνων και βάφει μερικά από αυτά μαύρα. Σε κάθε λευκό τετράγωνο ο Γιώργος γράφει τον αριθμό των μαύρων τετραγώνων τα οποία μοιράζονται μια πλευρά με αυτό. Να βρεθεί το μέγιστο άθροισμα των αριθμών...

2 Απαντήσεις

3637 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από sokpanvas
Πέμ Δεκ 27, 2018 8:33 pm
Πανέμορφη συνδυαστική

Τελευταία δημοσίευση από Demetres « Τετ Νοέμ 07, 2018 9:39 am
Απαντήσεις: 2
από Demetres » Κυρ Μάιος 13, 2018 8:26 pm

μεταθέσεις

συνδυαστική

Έχουμε $n$ αριθμημένα χαρτιά $1,2,3,\dots,n$ τοποθετημένα σε τυχαία διάταξη. Ονομάζουμε ένα ζευγάρι χαρτιών $(a,b)$ με $a>b$ αντεστραμμένο αν το χαρτί $a$ είναι στα αριστερά του χαρτιού $b$. Π.χ. η διάταξη $3,1,4,2$ έχει τρία αντεστραμμένα ζεύγη...

2 Απαντήσεις

3658 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Demetres
Τετ Νοέμ 07, 2018 9:39 am
Τράπουλα

Τελευταία δημοσίευση από Demetres « Κυρ Μαρ 25, 2018 11:07 am
Απαντήσεις: 2
από Λάμπρος Κατσάπας » Τετ Μαρ 21, 2018 11:14 pm

μεταθέσεις

τράπουλα-ανακάτεμα

Έχουμε στη διάθεσή μας τα $13$ φύλλα της τράπουλας $A,2,3,...,10,J,Q,K$ με αντίστοιχες αξίες

$1,2,3,...,10,11,12,13.$ Τα ανακατεύουμε και κοιτάμε το πρώτο. Αν η αξία του είναι $i$ τότε

αντιμεταθέτουμε τα $i$ πρώτα φύλλα και επαναλαμβάνουμε τη...

2 Απαντήσεις

4119 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Demetres
Κυρ Μαρ 25, 2018 11:07 am
Putnam 1990/A6

Τελευταία δημοσίευση από Demetres « Πέμ Φεβ 15, 2018 8:32 pm
Απαντήσεις: 2
από Demetres » Πέμ Φεβ 15, 2018 2:01 pm

απαρίθμηση

Ονομάζουμε ένα διατεταγμένο ζεύγος $(S,T)$ υποσυνόλων του $\{1,2,\ldots,n\}$ αποδεκτό, αν $s > |T|$ για κάθε $s \in S$ και $t > |S|$ για κάθε $t \in T$.

Να βρεθεί το πλήθος των αποδεκτών διατεταγμένων ζευγών υποσυνόλων του $\{1,2,\ldots,10\}$.

2 Απαντήσεις

4168 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Demetres
Πέμ Φεβ 15, 2018 8:32 pm
Putnam 1987/B2

Τελευταία δημοσίευση από Demetres « Σάβ Φεβ 03, 2018 8:33 am
Απαντήσεις: 2
από Demetres » Πέμ Φεβ 01, 2018 9:51 pm

άθροισμα

διωνυμικοί-συντελεστές

Δίνονται μη αρνητικοί ακέραιοι $r,s,t$ με $t \geqslant r+s$. Να αποδειχθεί ότι

$\displaystyle \sum_{k=0}^s \frac{\binom{s}{k}}{\binom{t}{r+k}} = \frac{t+1}{(t+1-s)\binom{t-s}{r}}$

2 Απαντήσεις

4148 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Demetres
Σάβ Φεβ 03, 2018 8:33 am
Στρατηγική Νίκης

Τελευταία δημοσίευση από Demetres « Δευ Αύγ 14, 2017 12:24 pm
Απαντήσεις: 6
από JimNt. » Δευ Ιούλ 31, 2017 2:03 pm

θετικοί

στρατηγική

Ο Γιάννης και ο Βασίλης παίζουν το εξής παιχνίδι: Ο Βασίλης γράφει στον πίνακα ένα σύνολο $A$ από $2018$ διαφορετικούς μεταξύ τους θετικούς ακεραίους και στην συνέχεια ένα σύνολο $B$ από $2017$ διαφορετικούς μεταξύ τους θετικούς ακεραίους που όμως...

6 Απαντήσεις

5221 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Demetres
Δευ Αύγ 14, 2017 12:24 pm

Νέο Θέμα

Επισήμανση θεμάτων ως αναγνωσμένα • 44 θέματα

Επιστροφή στο ευρετήριο

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης

Προσβάσεις σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επισυνάπτετε αρχεία σε αυτή τη Δ. Συζήτηση