Δίνεται η εξίσωση: χ^2 - (λ-3) x -(λ+3) = 0, λ ανήκει στο R .
Να βρείτε το λ και τις δύο ρίζες της, αν γνωρίζετε ότι η μία ισούται με το τετράγωνο
της άλλης.

Έχω κολήσει κάποια βοήθεια plz!! :wallbash:

Έστω $X$ ένας απειροδιάστατος διαχωρίσιμος χώρος Banach έτσι ώστε για κάθε υπόχωροό του $Y$ με $dimY=n$ να υπάρχει ένας φραγμένος τελεστής $T_n: Y\mapsto\ell_2^n$ ώστε $\|T_n\|\cdot\|T_n^{-1}\|\leq K$. Να αποδείξετε ότι υπάρχει φραγμένος τελεστής...

Έστω $n \in \mathbb{N}$. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\int_{0}^{1} \frac{\ln^n \frac{1+x}{1-x}}{\sqrt{1-x^2}} \frac{\mathrm{d}x}{1+x} = 2^n \Gamma(n+1)}$

όπου $\Gamma$ η συνάρτηση Γάμμα του Euler.

f με πεδίο ορισμού (0,+απειρο),f(1)=1,f'(1)=-3 και x²f (x)+5xf'(x)+4f(x)=0 για κάθε x>0

Μπορεί κάποιος να βοηθησει;Ζητείται ο τύπος της f

Έστω $f:\mathbb{Z}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ τέτοια ώστε $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{f(n)}{n} = \alpha>0}$. Να υπολογιστεί το όριο:

$\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \left ( \sqrt {\prod_{k=1}^{n+1} f(k)}...

Να βρείτε όλες τις τριάδες θετικών ακεραίων που ικανοποιούν την εξίσωση:

$2^x3^y+1=7^z$

Καλό μήνα! Παρά τους χαλεπούς καιρούς, ας αισιοδοξούμε..
Βρείτε τη βάση.PNG
Το τρίγωνο $ABC$ έχει $AB=AC$ και $\widehat {A}=50^\circ$. Το $E \in AB$ ώστε $\widehat {BCE}=40^\circ$.

Αν $AE=2$ τότε: Να υπολογιστεί το μήκος της $BC$ .

Μερικοί .....

Η Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία ανακοινώνει τη δημιουργία καναλιού στο Youtube. Σκοπός του καναλιού είναι η ανάρτηση βίντεο σχετικών με τις δράσεις της Εταιρείας. Σε πρώτο στάδιο κάνουμε την αρχή αναρτώντας βίντεο με τις λύσεις των θεμάτων του...

Καλησπέρα σας , εύχομαι όλη η Κοινότητα να είναι καλά σε αυτή την κατάσταση που διανύουμε.Παρακάτω αναφέρω μια άσκηση με γεωμετρικούς τόπους σημείων.Γνωρίζω πως βρίσκουμε γεωμετρικό τόπο για τα σημεία των οποίων οι συντεταγμένες τους περιέχουν...

Μεσογινόμενο.png $\bigstar$ Οι διαγώνιοι του ορθογωνίου τραπεζίου $ABCD$ τέμνονται κάθετα . Υπολογίστε το εμβαδόν του .

Γεια τους θετικούς $x,y,z$ δείξτε ότι

$11\sum \dfrac{x^{6}}{yz}\geq 6(2\sum x-\sum \dfrac{3x^{2}+4x-y-z}{y+z+1})^{3}+(\sum \dfrac{x}{\sqrt{y+z+1}})^{6}$

Τα $\sum$ :

$\sum...

Αν οι αριθμοί $x,y\in \mathbb{N^*}$ ικανοποιούν τη σχέση $2x^2+x=3y^2+y $ $(1)$, τότε:
α) να αποδείξετε πως οι αριθμοί $x-y$ και $2x+2y+1$ είναι τέλεια τετράγωνα
β) να βρείτε όλα τα ζεύγη $(x,y)$ τα οποία ικανοποιούν την $(1)$

Έστω $C = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20\}$ και $S = \{4, 5, 9, 14, 23, 37\}.$
Βρείτε δύο σύνολα $A$ και $B$ τέτοια ώστε
(α) $A \cap B = \emptyset$
(β) $A \cup B = C$
(γ) το άθροισμα δύο διαφορετικών...

Μη συνευθειακά.png Έστω $AB$ η κοινή χορδή δύο μη ίσων τεμνομένων κύκλων $\left( K \right),\left( L \right)$ και ας είναι $C,D$ τα αντιδιαμετρικά του $A$ ως προς τους $\left( K \right),\left( L \right)$.

Αν $E,Z$ τα σημεία τομής των $CM,DM$ με...

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε:

$f\left ( f\left ( 2017x+y \right )-f\left ( x+2017y \right ) \right )=2016f\left ( x-y \right )$, για κάθε $x,y\in \mathbb{R}$
Φιλικά,
Μάριος

Έστω $f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$ συνεχής συνάρτηση με την ιδιότητα $\displaystyle{\int _0^x f(x-t) \sin (t)\,dt=0}$ για κάθε $x \in \mathbb R$. Δείξτε ότι $f(x)=0$ για κάθε $x \in \mathbb R$.

(Προσθήκη αργότερα: Δεν είμαι βέβαιος ότι είναι...

Υπέρδιπλο.png Το $OACB$ είναι τετράγωνο , πλευράς $a$ . Επί της ευθείας $y=2a$ κινείται σημείο $S$ .

Οι $SA , SC$ τέμνουν τον $x'x$ τα σημεία $P,T$ . Υπολογίστε το : $(SPT)$ .

Αν το $S$ ( υπό το όνομα $S'$ ) βρεθεί χαμηλότερα ή ψηλότερα από την...

Σε τρίγωνο $ABC$ δίνονται $AB=5, BC=8$ και η ακτίνα του εγγεγραμμένου

κύκλου $r=\sqrt 3.$ Να δείξετε ότι $\widehat B=60^\circ$ ή $\widehat C=30^\circ$

Ο Φρίξος διαμερίζει το σύνολο των φυσικών αριθμών (το $0$ δεν το θεωρώ φυσικό) σε δύο σύνολα $A$ και $B$ με το καθένα να περιέχει άπειρους άρτιους και άπειρους περιττούς. Η Αντουανέτα ,που τον παρακολουθεί, ισχυρίζεται πως μπορεί να πάει σε ένα από...

ΘΕΜΑ 1
Υποθέτουμε ότι οι πραγματικοί αριθμοί $a, b, c, d$ δεν είναι ακέραιοι και το άθροισμα οποιονδήποτε τριών από αυτούς είναι ακέραιος.
Είναι δυνατόν ο αριθμός $ab + cd$ να είναι ακέραιος;

ΘΕΜΑ 2
Χρωματίζουμε κάθε σημείο του επιπέδου με...

$\bigstar$ Να λυθεί η εξίσωση : $\left ( \dfrac{x^2-4x+6}{3} \right )^{x^2-6x+8}=1$

Με διαμέτρους τις πλευρές $BC,\ AC,\ AB$ δοσμένου τριγώνου $\vartriangle ABC$ και προς το εξωτερικό μέρος αυτού, γράφουμε τα ημικύκλια $(L),\ (M),\ (N)$ αντιστοίχως και έστω $D',\ E',\ F'$, τα σημεία τομής των από τις ευθείες των υψών $AD,\ BE,\...

Αν ο $\displaystyle \alpha\in\Bbb{R}^{*}$ ικανοποιεί την σχέση $\alpha^2-2^{n}\cdot \alpha-1=0$, όπου $n\in\Bbb{N}$,

να αποδείξετε ότι: $(\alpha^{2}+ \frac{1}{\alpha^2})\cdot$ $(\alpha^{4}+ \frac{1}{\alpha^4})\cdot$ $(\alpha^{8}+...

Ας συγκεντρώσουμε εδώ, όσους περισσότερους τρόπους μπορούμε για να αποδείξουμε τη γνωστή πρόταση:

Η διχοτόμος τριγώνου κείται μεταξύ του ύψους και της διαμέσου που άγονται από την ίδια κορυφή.

ΘΕΜΑ 1
Να βρείτε όλες τις πραγματικές λύσεις της εξίσωσης

$\displaystyle{(x^2 + 3x + 1)^{x^2−x−6} = 1.}$

ΘΕΜΑ 2
Σε ένα παραλληλόγραμμο $ABCD$ είναι $AD\perp AC$.Έστω $N$ η προβολή του $C$ στην $BD$ και $P$ το συμμετρικό του $B$ ως προς την...