Μέγιστο γινόμενο.png Σε κύκλο $(O,r)$ θεωρήσαμε χορδή $AB=2\ell<2r$ . Σημείο $S$ κινείται στον κύκλο .

Βρείτε τη μέγιστη τιμή του γινομένου $SA\cdot SB$ . Κυνηγήστε την άλλη λύση ...

Για τις διάφορες τιμές του θετικού πραγματικού $\alpha$, να εξετασθεί η σύγκλιση της σειράς

$\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{{n}=1}^{\infty}\frac{\log{n}}{n^{\alpha}}\,.$

Εκδόθηκε την 19 Ιουνίου 2018 από τα ΕΛ.ΤΑ. αναμνηστικό γραμματόσημο
για τα 100 χρόνια από την ίδρυση της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας.

ΕΜΕ 100 χρόνια.jpg

Έστω $v_0$ το μηδενικό διάνυσμα στο $\mathbb{R}^n$ και έστω $v_1,\ldots,v_{n+1}$ διανύσματα στο $\mathbb{R}^n$ ώστε η Ευκλείδεια νόρμα $\|v_i - v_j\|_2$ να είναι ρητή για κάθε $0 \leqslant i ,j \leqslant n+1$.

Να δειχθεί ότι τα $v_1,\ldots,v_{n+1}$...

Σήμερα ξεκινάει η 22η Βαλκανιάδα νέων JBMO στην Ροδο. Στην διοργάνωση συμμετέχουν πολλά αξιότιμα μέλη του forum μας καθώς και μαθητές. Εύχομαι καλή επιτυχία και στην Ελληνική και στην Κυπριακή ομάδα!!! Τα θέματα θα μπουν εδώ με το που ανακοινωθούν...

Ενα ελάχιστο κι ένα μέγιστο.png

Δίδεται σταθερός κύκλος κέντρου $O$ και σταθερό σημείο $C$ στο εσωτερικό του .

Μεταβλητό σημείο $A$ κινείται πάνω στον κύκλο . Στο $C$ φέρνω κάθετη επί την $AC$ και έστω $B$ το ένα σημείο τομής της με τον κύκλο ....

Μία που πέτυχα σήμερα σε περιοδικό της ΕΜΕ ...

Δίδεται ορθογώνιο τρίγωνο $\mathrm{AB \Gamma}$ με $\hat{\rm A}=90^\circ$ και $\hat{\rm B}= 30^\circ$. Έστω ${\rm M}$ και ${\rm N}$ τα μέσα των πλευρών $\mathrm{AB}$ και $\mathrm{A \Gamma}$ αντίστοιχα...

Νέο μέγιστο.png Το τετράπλευρο του σχήματος είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο $(O)$ , ακτίνας $r=4$ .

Η διαγώνιος $AC$ διέρχεται από το σημείο $S(-2,0)$ , ενώ η γωνία $\widehat{A}$ είναι ορθή .

Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τετραπλεύρου .

Μέγιστο γινόμενο 11.png Σημείο $S$ κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου $AB$ και $T$ είναι η προβολή του στη διάμετρο .

Υπολογίστε τη μέγιστη τιμή του γινομένου : $(SA\cdot ST)$ ... $48$ ώρες , μόνο για μαθητές .

Δίνεται μη μηδενικό πολυώνυμο $f$ με πραγματικούς συντελεστές. Ορίζουμε ακολουθία πολυωνύμων $f_0,f_1,f_2,\ldots$ αναδρομικά ως $f_0 = f$ και $f_{n+1} = f_n + f_n'$ για $n \geqslant 0$.

Να δειχθεί ότι υπάρχει φυσικός $N$ ώστε για κάθε $n \geqslant...

Να εξεταστεί αν υπάρχει αριθμός το οποίου το γινόμενο επί $1+\frac{1}{2}$ είναι ίσο με το άθροισμα του αριθμού με το $1+\frac{1}{2}$.

Καλησπέρα :logo: .

Έστω η συνάρτηση $f(x)=(k+1)lnx+ln(x-1)-ln2, x>1$. Να βρεθεί η τιμή του πραγματικού αριθμού $k$ για την οποία το όριο $lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)$ υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός.

Ευχαριστώ.

Γεια σας, να βρεθούν όλοι οι τετραψήφιοι αριθμοί που έχουν την ιδιότητα όταν διαγράψεις οποιοδήποτε ψηφίο του αριθμού αυτού τότε ο αριθμός θα μετατραπεί σε τριψήφιο αριθμό ο οποίος θα διαιρεί τον αρχικό αριθμό. Δηλαδή αν $A=\overline{abcd}$ τότε οι...

Δίνονται οι συναρτήσεις με τύπους : $\displaystyle g(x)=\sqrt{1+x}$ και $\displaystyle f(x)=\frac{g(x)}{g(-x)}+\frac{g(-x)}{g(x)}$
α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού τους και να δείξετε ότι η $\displaystyle f$ είναι άρτια .
β) Να δείξετε ότι...

Τρεις φίλοι αποφασίζουν να περάσουν ένα Σαββατοκύριακο στην εξοχή.
Ο Α φέρνει 3 κούτσουρα.
Ο Β φέρνει 5 κούτσουρα.
Ο Γ δεν έχει κούτσουρα και λογαριάζουν ότι πρέπει να δώσει 8€.

Πώς θα μοιραστούν τα 8€ στα δύο;

Είναι καιρός να δούμε τα θέματα του φετινού Προκριματικού των Μεγάλων.

Πρόβλημα 1
Αν $x,y,z$ είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε $x+y+z=9xyz$, να αποδείξετε ότι:...

Καλημέρα σας...

Αναρτώ ένα κείμενο pdf και ένα αρχείο ggb όπου μπορεί να δεί κανείς
κάποια στοιχεία - σχόλια που αφορούν το 3ο Θέμα των φετινών πανελλαδικών
εξετάσεων στο μάθημα των Μαθηματικών Κατ/νσης(Ιούνιος 2018)

Ενδεικτικά και ως...

Με αφορμή τις εξετάσεις, κάθε χρόνο, προσπαθώ να βρω έναν τρόπο να ερμηνεύσω εμάς, την εποπτεύουσα αρχή, τους μαθητές και τέλος πάντων όλους όσους εμπλέκονται σε αυτό που λέμε εκπαίδευση. Φέτος είπα, θα γράψω αυτά που με απασχολούν και σας τα αφήνω...

Μου άρεσε πολύ η ανάρτηση του φίλου Κώστα Δόρτσιου για την παρουσιάση του θέματος Γ3 των φετεινών εξετάσεων, όπως έχει αναρτηθεί εδώ
www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=133&t=62026&sid=f28201d898b9c8bee9db6b51ff014289 .
Το γεγονός αν...

Αν $\displaystyle{f(x)=\frac{x-1}{\ln x}, ~~0
$\displaystyle{f(a^2)+f(b^2)\geq 2f(ab)}$

για οποιαδήποτε $\displaystyle{a,b\in(0,1)\cup (1,+\infty),}$ με $\displaystyle{ab\ne 1.}$

Την παραπάνω ανισότητα την κατασκεύασα...

Βρείτε όλους τους πρώτους $\displaystyle{p,q}$ ώστε ο αριθμός $\displaystyle{\frac{\left( 5^{p}-2^{p} \right )\left (5^{q}-2^{q} \right )}{pq}}$ να είναι ακέραιος.

Πρόοδος σε τραπέζιο.png
Δίνεται τραπέζιο $ABCD$ με $\widehat A=\widehat D=90^\circ$ και $AB=a, CD=b, a
$AD, BC$ θεωρούμε τα σημεία $P, Q$ αντίστοιχα, ώστε $PQ||AB$ και $(ABQP)=(PQCD).$

α. Να υπολογίσετε το τμήμα $PQ=c,$...

1.png

Καλησπέρα σε όλους .

Δίνεται ημικύκλιο $(O, 9)$, διαμέτρου $AB$ και κύκλος που εφάπτεται του ημικυκλίου

και της $AB$ στα σημεία $D, C$ αντίστοιχα. Αν $OP=1$, να υπολογίσετε την ακτίνα του εν λόγω κύκλου .

Σε σταθερό κύκλο.png

Δίδονται τα σταθερά σημεία $B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C$ και το μεταβλητό $A$ για το οποίο : $3(AC - AB) = BC$.

Έστω $I$ το έγκεντρο του $\vartriangle ABC$ και $M$ το ( άλλο) σημείο τομής του κύκλου διαμέτρου $AI$ με τον...