Ανιαρή με ενδιαφέρον.png Οι ημιευθείες $Ax , By$ είναι ομόρροπες και κάθετες σε τμήμα $AB=d$ . Σημείο $S$ κινείται στην $Ax$ ,

έτσι ώστε : $AS
Υπολογίστε το ελάχιστο του...

GEOMETRIA222=FB2947.jpg
Εστω παραλληλόγραμμο $AECF$ και σημεία $B, D$ επί των πλευρών του $AE, AF$ αντίστοιχα.

Δείξτε ότι το τετράπλευρο $ABCD$ είναι εγγράψιμο, αν και μονο τότε αν, $AC^2=AE \cdot AB+ AF \cdot AD$

Η πρόταση είναι του φίλου...

Έχει κατά καιρούς συζητηθεί έντονα.

Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο $\nu$ ισχύει:
$\left( 1-\frac{1}{\nu ^{2}}\right) ^{\nu }\geq 1-\frac{1}{\nu }$

Είναι γνωστό ότι αν ασχολείσαι με κάτι σοβαρά και για χρόνια , προκύπτουν κάποια συμπεράσματα φαινομενικά από το πουθενά...
Κάτι τέτοιο είναι και η παρακάτω ανισότητα.
Σας την προτείνω γιατί ίσως η λύση που έχω στο μυαλό μου να μην είναι η πιο...

Ισόπλευρο χωρίς αιτία.png

Έστω ημικύκλιο διαμέτρου $AB$ . Σημείο $C$ του $AB$ είναι τέτοιο ώστε : $BC = 2CA$.

Η κάθετη στο $C$ επί την $AB$ τέμνει το ημικύκλιο στο $D$.

Σχηματίζω το ορθογώνιο $BCDE$ και έστω $K$ το σημείο τομής των...

Στην ετήσια εκδήλωση που έκανε πρόσφατα το Παράρτημα Λακωνίας της Ε.Μ.Ε.
έγινε παρουσίαση μιας εργασίας, που δημιούργησαν μαθητές από σχολεία του νομού μαζί
με μέλη του Παραρτήματος. Αυτή εκδόθηκε σε ένα μικρό βιβλίο και διατέθηκε την ημέρα
της...

Ορθογώνιοι μπελάδες.png Πώς θα εντοπίσουμε το σημείο $S$ , ώστε : $SA=2SA'$ .

Ο Απολλώνιος βρίσκεται προ πολλού στην Β' Εθνική :lol:

Ολυμπιάδα «Υψηλά πρότυπα» 2019, 11η τάξη (*)

1. Για τους πραγματικούς αριθμούς $a,b$ και $c$ είναι γνωστό, ότι $abc+a+b+c=10$, $ab+bc+ac=9$. Για ποιους αριθμούς $x$ μπορούμε να ισχυριστούμε, ότι τουλάχιστον ένας εκ των αριθμών $a,b,c$ ισούται με...

Α) Δείξτε ότι : $\dfrac{5^5}{4^4} 0$ , ισχύει : $\dfrac{(x+1)^{x+1}}{x^x}<(x+\dfrac{1}{2})e$

Σταθερή διαφορά.png Έξω από ημικύκλιο διαμέτρου $AOB=2R$ , θεωρούμε σημείο $S$ , έτσι οι $SA,SB$

να τέμνουν το τόξο σε σημεία $N,L$ αντίστοιχα . Η παράλληλη από το $S$ προς την $AB$

τέμνει την ευθεία $NL$ στο σημείο $P$ . Υπολογίστε τη διαφορά...

Να αποδείξετε ότι, σε ένα τρίγωνο $ABC$ οι τέσσερις ευθείες που περιέχουν
$\bullet$ τα σημεία $B_{3}$, $C_{3}$ επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου με τις πλευρές του $AB$, $AC$ αντίστοιχα,
$\bullet$ τα σημεία επαφής $B_{4}$, $C_{4}$ αυτών...

Στο συνημμένο αρχείο υπάρχει η ανακοίνωση του Δ.Σ. της Ε.Μ.Ε.
για το Νομοσχέδιο που έχει καταθέσει ο Υπουργός Παιδείας για ψήφιση στην Βουλή.
Η ανακοίνωση προφανώς, αφορά εκείνα τα σημεία του Νομοσχεδίου τα σχετικά με τη Μαθηματική Εκπαίδευση.

Έστω $\vartriangle ABC$ με $AB>AC$. Έστω $P$ ένα σημείο στην προέκταση της $BA$ προς το $A$, ώστε $AP+PC=AB$. Έστω ακόμη $M$ το μέσον της $BC$, και $Q$ σημείο της $AB$ ώστε $CQ \perp AM$.

Να δείξετε, ότι $BQ=2AP$.

Υ.Γ. Αφιερωμένη στους Φραγκάκη...

Ας δηλώνει η $\phi$ τη συνάρτηση φι του Euler . Να δειχθεί ότι για $s>2$ ισχύει:

$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \phi(n)}{n^s} =-\frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}\cdot\frac{2^s-3}{2^s-1}}$

όπου $\zeta$ η συνάρτηση ζήτα του Riemann.

Τι μπορείτε να πείτε για το όριο:

$\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{n \sin n}}$

Για τους πραγματικούς αριθμούς $\displaystyle a,b,c$ ισχύει:

$\displaystyle \begin{array}{l}
\cos a + \cos b + \cos c = 1\\
{\mathop{\rm \sin \alpha}\nolimits} + sinb + sinc = 1
\end{array}$

Να βρείτε την ελάχιστη τιμή που μπορεί να λάβει το...

Τετράγωνοι λόγοι.png $\bigstar$ Τα τετράπλευρα $ABCD , BEZH$ είναι τετράγωνα με πλευρές $a , b $ αντίστοιχα .

Η προέκταση της $ AC$ τέμνει την $EH$ στο $M$ . α) Δείξτε ότι τα σημεία $D,M,Z$

είναι συνευθειακά . β) Υπολογίστε τους λόγους :...

Χαιρετώ. Το παρόν βασίζεται σε παλαιότερο θέμα.
Θέση για πρώτο λόγο.PNG
Στο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο $ABCD$ είναι $AB=BC\sqrt{2}$.

Ι) Να βρεθεί - κατασκευαστικά - η θέση του σημείου $E$ πάνω στο ημικύκλιο διαμέτρου $AB$ ώστε:

Αν οι $ED,EC$...

Αν $a\in \mathbb{R}$ , λύστε - στο $ \mathbb{R}$ φυσικά - την εξίσωση :

$x^4+4x^3+(3-a)x^2-(2+2a)x+a=0$

Σας προτείνω το θέμα 84 από το αρχείο του Θάνου.

Αν $x,y>0,x\neq y,$ αποδείξτε ότι

$\displaystyle \frac{x+y}{2}\geq \frac{x-y}{lnx-lny}\geq \sqrt{xy}$

Υπολογίστε το όριο $ \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{x-\sin(x)+y}{x^{3}+6y} $ (αν υπάρχει)

Η απορία μου είναι η εξής.
Είδα μια λύση με πολικές συντεταγμένες
$\displaystyle{ \lim_{r\rightarrow 0}\frac{r\cos\theta - \sin(r\cos\theta)...

Μία ευθεία τέμνει δύο από τις πλευρές του τριγώνου $ABC (AB=13, AC=14, BC=15)$ στα σημεία $M, N,$ ώστε να

χωρίζει το $ABC$ σε ένα τρίγωνο και ένα τετράπλευρο που είναι ισοπεριμετρικά. Να βρείτε τη μικρότερη τιμή που μπορεί να πάρει

το εμβαδόν...

Ορθογώνιες αγωνίες.png Στο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , είναι $AB=12 ,AC=5$ . Σημείο $S$ κινείται στην $AB$ .

Η κάθετη της $CS$ στο $S$ , τέμνει την υποτείνουσα $BC$ στο σημείο $T$ . Υπολογίστε :

α) το μέγιστο του ύψους $TD$ , του...

Για όσους και όσες προετοιμάζονται για τον διαγωνισμό του Θαλή μια ωραία άσκηση γεωμετρίας με αφορμή θέμα από αμερικάνικο διαγωνισμό που είχαμε συζητήσει εδώ

Δίνεται το πολύγωνο ΑΒΓΔΕ (αστέρι). Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{
\mathop A\limits^...

καλησπέρα σε όλους
χρειάζομαι να μάθω να υπολογίζω τέτοιου είδους πιθανότητες

έστω δυο ποδοσφαιρικές ομάδες Α και Β
η Α ομάδα δέχεται γκολ στο 60% των παιχνιδιων και σκοράρει στο 50% των παιχνιδιών
η Β ομάδα δέχεται γκολ στο 30% των παιχνιδιών και...