Δείξτε ότι η συνάρτηση : $f(x)=x^5-5x^3+5x-724$ , έχει μοναδική πραγματική ρίζα .

Ώρα ωραίας εφαπτομένης.png Το τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές . Στην πλευρά $AB$ υπάρχει σημείο $P$ ,

ώστε : $AP=1 , PB=7$ . Στην υποτείνουσα $BC$ επιλέγουμε σημείο $S$ , το οποίο

ισαπέχει από το $P$ και την πλευρά $AC$...

$A) a.$ Να δείξετε ότι η εξίσωση $\displaystyle {x^3} - 27x - 62 = 0$ έχει μοναδική πραγματική ρίζα.

$b.$ Εξετάστε αν η ρίζα αυτή είναι η $\displaystyle x = \sqrt {{31 + 2\sqrt {58} }} + \sqrt {{31 - 2\sqrt {58} }}$

$B)$ Δίνονται τα σημεία...

Περίμετρος και εμβαδόν.png Κύκλος ακτίνας $2$ είναι εγγεγραμμένος σε ισοσκελές τρίγωνο βάσης $12$ .

Υπολογίστε την περίμετρο και το εμβαδόν του τριγώνου $\bigstar$ ( $24$ - ωρο ) .

Ήθελα να ρωτήσω εάν έχετε κάποιο λογισμικό στο κινητό σας σχετικά με τα Μαθηματικά και την οποία βρίσκετε χρήσιμη.
Προσωπικά προτείνω την WolframAlpha απο τον δημιουργό του πακέτου Mathematica άλλα έχει ένα μικρο κόστος γύρω στα 3 ευρώ .
Η εφαρμογή...

Μεγιστοποίηση εμβαδού.png Το τρίγωνο $\displaystyle ABC$ έχει σταθερού μήκους $d$ τις ίσες πλευρές του $AB$ και $AC$ , ενώ η βάση του

$BC$ μεταβάλλεται . Ο έγκυκλος του τριγώνου εφάπτεται των πλευρών στα σημεία $S , P , T$ .

Υπολογίστε το μέγιστο...

Μου το ανέφερε φίλος σε τυχαία συνάντηση στον δρόμο και μου άρεσε:

Να βρεθούν όλοι οι εννεαψήφιοι αριθμοί που έχουν εννέα διαφορετικά μεταξύ τους μη μηδενικά ψηφία $\psi_1$, ... , $\psi_9$ και ικανοποιούν τις διαιρετότητες $k|\psi_1...\psi_k$ για...

Λύστε ( στο $\mathbb{R}$ ) , το σύστημα : $\left\{\begin{matrix}
x+y & =4\\
x^5+y^5&=724
\end{matrix}\right$

Μην το βλέπετε ως μη διασκεδαστικό , μπορεί άνετα να γίνει !

Στο σύνολο $\mathbb{Z}_5$ να εξετάσετε αν έχουν λύση οι εξισώσεις $x^2+1=0$ και $x^4-1=0$.

'Εστω $\pi(k)$ το πλήθος των πρώτων αριθμών που είναι μικρότεροι η ίσοι από το $k$.
Έστω η συνάρτηση $a(x,n,k) = \sqrt{\frac{n \pi(k) (k- \pi(k))}{k^2}} x +\frac{n \pi(k)}{k}$.
Δείξτε ότι $ \sum_{j \leq a(x,n,k)} {n \choose j} (\frac{\pi(k)}{k})^j...

Για θετικό πραγματικό αριθμό $\displaystyle t$, έστω $\displaystyle f(t)$ η τιμή του πραγματικού αριθμού $\displaystyle a$ τέτοια, ώστε η καμπύλη $y=t^3 \ln \left ( t-x \right )$ να τέμνει την καμπύλη $\displaystyle y=2e^{x-a}$ σε ακριβώς ένα...

Σας προτείνω το θέμα Ο495 από το πέμπτο τεύχος του 2019 των Mathematical Reflections.
To θέμα προτάθηκε από τον Ngugen Viet Hung του Hanoi University of Science στο Βιετνάμ.
Η καταληκτική ημερομηνία υποβολής λύσεων παρήλθε , έτσι μπορώ άνετα να το...

Παρουσιάζουμε τα κυριότερα χαρακτηριστικά και δυνατότητες του πακέτου tcolorbox. Με αυτό το πακέτο του LaTeX μπορούμε να δημιουργήσουμε, με τρόπο ευέλικτο, καλαίσθητα χρωματιστά κουτιά-πλαίσια, στα οποία είναι εύκολο να εντάξουμε κείμενα,...

Υπάρχει άραγε φυσικός αριθμός ο οποίος είναι $2019$ φορές μεγαλύτερος από το άθροισμα των ψηφίων του;

Υπερπρόοδος.png Οι κύκλοι $(K) , (L) , (N)$ είναι ίσοι μεταξύ τους και τα τμήματα $SO ,SA,SB,SC,OC$

εφάπτονται , σε έναν , δύο , ή τρεις απ' αυτούς . Αξιοποιώντας τα δεδομένα του σχήματος ,

υπολογίστε τα μήκη των τμημάτων $AB=x$ και $BC=y$ .

Διπλή εκφώνηση.png Εκφώνηση Α : Η περίμετρος του ορθογωνίου τριγώνου του σχήματος ισούται ( αριθμητικά )

με το διπλάσιο του εμβαδού του . Υπολογίστε αυτό το εμβαδόν .

Εκφώνηση Β : Στο ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος είναι :...

Ο Peter Backus του πανεπιστήμιου του Warwick χρησιμοποιεί Μαθηματικά για να εξηγήσει γιατί κάποιος δεν έχει φιλενάδα η φιλεναδο ... :shock:

Η παρακάτω φωτογραφία δείχτηκε σε Ραδιολόγους οι οποίοι στην πλειοψηφία τους απέτυχαν να αναγνωρίσουν κάτι αφύσικο σε αυτήν...Μπορείτε να βρείτε τι ?

Η απάντηση για όσους προσπάθησαν... :clap2:

Αν $\displaystyle{n\geq 3}$ είναι ακέραιος, να αποδείξετε ότι

$\displaystyle{1989|\Bigleft (n^{n^{n^n}}-n^{n^{n}}\Bigright)}$

Έστω $\zeta$ η συνάρτηση ζήτα του Riemann. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{\ln^3 xy}{1+xy} \, \mathrm{d}(x, y) =-\frac{45 \zeta(5)}{2}}$

Έστω $U\subseteq \mathbb{R}^n $ ανοικτό,κυρτό σύνολο και
$f\epsilon C\left ( U,\mathbb{R}^n \right )$ είναι συντηρητικό διανυσματικό πεδίο

Βρείτε το δυναμικό του f

Καλησπέρα, μπορεί να μου υποδείξει κάποιος πως λύνονται τέτοιου τύπου ασκήσεις ή να μου προωθήσει κάποιο link ?

Η σειρά είναι:
$\sum_{n=0}^{\infty } 3n+2/n!$

Ευχαριστώ

Διπλάσιο και μέσο.png Το τρίγωνο $ \displaystyle ABC $ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές . Επί της $AC$ θεωρώ σημείο $S$ , ώστε : $AS<\dfrac{AC}{2}$

και επί της $BC$ σημείο $M$ , τέτοιο ώστε : $\widehat{MSB}=2\widehat{SBA}$ . Η κάθετη από το $M$ προς...

Καλό βράδυ-Καλημέρα σε όλους! Έχω την αίσθηση ότι το παρακάτω θέμα έχει προβληθεί
αλλά θεωρώ πως θα τραβήξει το ενδιαφέρον και σε αρκετούς -κυρίως νεότερους-που δεν το γνωρίζουν.
19-10 Τριχοτόμηση γωνίας!.PNG
Το τρίγωνο $ABC$ έχει $AB=AC$. Το...

1.png

Στο παραπάνω σχήμα το σημείο $D$ είναι σημείο επαφής για τον ημίκυκλο διαμέτρου $AB$.
Υπολογίστε το λόγο $\dfrac{(DEB)}{(DEC)}$.