Πρόοδος σε τραπέζιο.png
Δίνεται τραπέζιο $ABCD$ με $\widehat A=\widehat D=90^\circ$ και $AB=a, CD=b, a
$AD, BC$ θεωρούμε τα σημεία $P, Q$ αντίστοιχα, ώστε $PQ||AB$ και $(ABQP)=(PQCD).$

α. Να υπολογίσετε το τμήμα $PQ=c,$...

Είναι καιρός να δούμε τα θέματα του φετινού Προκριματικού των Μεγάλων.

Πρόβλημα 1
Αν $x,y,z$ είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε $x+y+z=9xyz$, να αποδείξετε ότι:...

1.png

Καλησπέρα σε όλους .

Δίνεται ημικύκλιο $(O, 9)$, διαμέτρου $AB$ και κύκλος που εφάπτεται του ημικυκλίου

και της $AB$ στα σημεία $D, C$ αντίστοιχα. Αν $OP=1$, να υπολογίσετε την ακτίνα του εν λόγω κύκλου .

Σε σταθερό κύκλο.png

Δίδονται τα σταθερά σημεία $B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C$ και το μεταβλητό $A$ για το οποίο : $3(AC - AB) = BC$.

Έστω $I$ το έγκεντρο του $\vartriangle ABC$ και $M$ το ( άλλο) σημείο τομής του κύκλου διαμέτρου $AI$ με τον...

Να αποδείξετε ότι η εξίσωση: $\displaystyle{x^{2}+y^{2}+z^{2}+3\left (x+y+z\right )+5=0}$ δεν έχει λύσεις στους ρητούς.

Βρείτε όλους τους πρώτους $\displaystyle{p,q}$ ώστε ο αριθμός $\displaystyle{\frac{\left( 5^{p}-2^{p} \right )\left (5^{q}-2^{q} \right )}{pq}}$ να είναι ακέραιος.

Με αφορμή τις εξετάσεις, κάθε χρόνο, προσπαθώ να βρω έναν τρόπο να ερμηνεύσω εμάς, την εποπτεύουσα αρχή, τους μαθητές και τέλος πάντων όλους όσους εμπλέκονται σε αυτό που λέμε εκπαίδευση. Φέτος είπα, θα γράψω αυτά που με απασχολούν και σας τα αφήνω...

Αν $\displaystyle{f(x)=\frac{x-1}{\ln x}, ~~0
$\displaystyle{f(a^2)+f(b^2)\geq 2f(ab)}$

για οποιαδήποτε $\displaystyle{a,b\in(0,1)\cup (1,+\infty),}$ με $\displaystyle{ab\ne 1.}$

Την παραπάνω ανισότητα την κατασκεύασα...

Γεια σας, να βρεθούν όλοι οι τετραψήφιοι αριθμοί που έχουν την ιδιότητα όταν διαγράψεις οποιοδήποτε ψηφίο του αριθμού αυτού τότε ο αριθμός θα μετατραπεί σε τριψήφιο αριθμό ο οποίος θα διαιρεί τον αρχικό αριθμό. Δηλαδή αν $A=\overline{abcd}$ τότε οι...

Δεν θα μπορούσα να μην ανταποκριθώ στο κάλεσμα του Χρήστου Ντάβα, οπότε σχολιάζω λίγο την μπάλα του τρέχοντος Παγκοσμίου Κυπέλλου (Ρωσία 2018), βασιζόμενος στις εικόνες της που έχω δει στο διαδίκτυο, ίσως επανέλθω με περισσότερες λεπτομέρειες όταν...

Να υπολογιστεί η σειρά:

$\displaystyle{\mathcal{S} = \sum_{n=1}^{\infty} \left ( 2 \sin^4 \frac{\pi}{2^n} - 6 \cos^2 \frac{\pi}{2^n} \sin^2 \frac{\pi}{2^n} \right )}$

From: George Baloglou
Date: 2016-06-04 19:02 GMT+03:00
Subject: Re: The Topological Mystery Behind The “Brazuca” World Cup Football
To: kostas Zigouris

2016-06-02 0:17 GMT+03:00 kostas Zigouris :
Γιώργο, καλησπέρα

Αν και καθόλου...

Μου άρεσε πολύ η ανάρτηση του φίλου Κώστα Δόρτσιου για την παρουσιάση του θέματος Γ3 των φετεινών εξετάσεων, όπως έχει αναρτηθεί εδώ
www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=133&t=62026&sid=f28201d898b9c8bee9db6b51ff014289 .
Το γεγονός αν...

Έστω $A, B$ δύο σημεία και $C_1, C_2, ..., C_n$ κύκλοι, με την ιδιότητα να διέρχονται όλοι τους από τα σημεία $A, B$.

Φέρνουμε από το $A$ δύο ευθείες $e_1$ και $e_2$. Η $e_1$ τέμνει τους κύκλους $C_1, C_2,..., C_n$ στα σημεία $M_1, M_2, ... ,M_n$...

και ορθή και μέσο.png

Έστω κύκλος διαμέτρου $AOB$.

1. Να βρεθεί σημείο $S$ του κύκλου τέτοιο ώστε αν γράψουμε τον κύκλο $(A,AS)$ και η $SO$ τον τέμνει ακόμα στο $T$ να είναι: $ST \bot BT$.

2. Έστω $Q$ το αντιδιαμετρικό του $S$ στον κύκλο...

Το $\displaystyle K$ βρίσκεται επί της διαγωνίου του τετραγώνου και $\displaystyle KE \bot A\Delta $ .
Ποια θέση του $\displaystyle K$ ελαχιστοποιεί το άθροισμα των εμβαδών των έγχρωμων τριγώνων ;

Πυθαγόρεια τριάδα.png
Στο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC(\widehat A=90^0),$ είναι $AD$ το ύψος και $AP, AQ$ οι διχοτόμοι των τριγώνων $ABD, ADC$

αντίστοιχα. Προέκυψε ότι $PQ=4.$ Μπορείτε να βρείτε ποιες Πυθαγόρειες τριάδες, ικανοποιούν αυτή τη συνθήκη;

Έχουν γίνει περισσότερες από 100 έρευνες γενικά γαι το σκάκι και πλήθος άλλων μεταβλητών ενώ 52 αφορούν το σκάκι και τα μαθηματικά. Καμία όμως δεν θέτει το συγκεκριμένο ερώτημα. Όλες δίνουν βαρύτητα στη σύνδεση των μαθηματικών με το σκάκι (πολλοί...

Καλημέρα σας

Όταν χρησιμοποιώ τις εντολές \big( ή \big[ τις μαρκάρει ως μη αναγνωρισμένες εντολές, αλλά δεν εμφανίζει
σφάλμα και το αποτέλεσμα στο pdf είναι το επιθυμητό. Δεν κάνει το αντίστοιχο με την εντολή \big|. Aν τώρα
αφήσω κενό ανάμεσα στο...

Τα Σημερινά Θέματα των Εσπερινών ΓΕΛ:

Τετράπλευρο είναι εγγεγραμμένο σε κωνική. Να αποδειχτεί ότι τα δυο σημεία που ορίζουν οι απέναντι πλευρές του και τα δύο σημεία που ορίζουν οι εφαπτόμενες στις απέναντι κορυφές του, σχηματίζουν αρμονική τετράδα.

Ειδικό ορθογώνιο.png Το τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι τύπου : $90^0-60^0-30^0$ . Γράφουμε

τον κύκλο $(A,AB)$ , ο οποίος τέμνει την $BC$ στο $T$ και την $AC$

στο $S$ . Το σημείο $E$ είναι το έγκεντρο του τριγώνου .

α) Δείξτε ότι :...

Σε συνέχεια του θέματος από δω ας δούμε τούτο.

Να δειχθεί ότι: $\displaystyle{\lim \sqrt {\zeta(n)-1} = \frac{1}{2}}$.