Μέγιστο γινόμενο.png Σε κύκλο $(O,r)$ θεωρήσαμε χορδή $AB=2\ell<2r$ . Σημείο $S$ κινείται στον κύκλο .

Βρείτε τη μέγιστη τιμή του γινομένου $SA\cdot SB$ . Κυνηγήστε την άλλη λύση ...

Νέο μέγιστο.png Το τετράπλευρο του σχήματος είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο $(O)$ , ακτίνας $r=4$ .

Η διαγώνιος $AC$ διέρχεται από το σημείο $S(-2,0)$ , ενώ η γωνία $\widehat{A}$ είναι ορθή .

Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τετραπλεύρου .

Τρεις φίλοι αποφασίζουν να περάσουν ένα Σαββατοκύριακο στην εξοχή.
Ο Α φέρνει 3 κούτσουρα.
Ο Β φέρνει 5 κούτσουρα.
Ο Γ δεν έχει κούτσουρα και λογαριάζουν ότι πρέπει να δώσει 8€.

Πώς θα μοιραστούν τα 8€ στα δύο;

Να εξεταστεί αν υπάρχει αριθμός το οποίου το γινόμενο επί $1+\frac{1}{2}$ είναι ίσο με το άθροισμα του αριθμού με το $1+\frac{1}{2}$.

Είναι καιρός να δούμε τα θέματα του φετινού Προκριματικού των Μεγάλων.

Πρόβλημα 1
Αν $x,y,z$ είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε $x+y+z=9xyz$, να αποδείξετε ότι:...

Δίνονται οι συναρτήσεις με τύπους : $\displaystyle g(x)=\sqrt{1+x}$ και $\displaystyle f(x)=\frac{g(x)}{g(-x)}+\frac{g(-x)}{g(x)}$
α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού τους και να δείξετε ότι η $\displaystyle f$ είναι άρτια .
β) Να δείξετε ότι...

Καλημέρα σας...

Αναρτώ ένα κείμενο pdf και ένα αρχείο ggb όπου μπορεί να δεί κανείς
κάποια στοιχεία - σχόλια που αφορούν το 3ο Θέμα των φετινών πανελλαδικών
εξετάσεων στο μάθημα των Μαθηματικών Κατ/νσης(Ιούνιος 2018)

Ενδεικτικά και ως...

Μία που πέτυχα σήμερα σε περιοδικό της ΕΜΕ ...

Δίδεται ορθογώνιο τρίγωνο $\mathrm{AB \Gamma}$ με $\hat{\rm A}=90^\circ$ και $\hat{\rm B}= 30^\circ$. Έστω ${\rm M}$ και ${\rm N}$ τα μέσα των πλευρών $\mathrm{AB}$ και $\mathrm{A \Gamma}$ αντίστοιχα...

Σήμερα ξεκινάει η 22η Βαλκανιάδα νέων JBMO στην Ροδο. Στην διοργάνωση συμμετέχουν πολλά αξιότιμα μέλη του forum μας καθώς και μαθητές. Εύχομαι καλή επιτυχία και στην Ελληνική και στην Κυπριακή ομάδα!!! Τα θέματα θα μπουν εδώ με το που ανακοινωθούν...

Με αφορμή τις εξετάσεις, κάθε χρόνο, προσπαθώ να βρω έναν τρόπο να ερμηνεύσω εμάς, την εποπτεύουσα αρχή, τους μαθητές και τέλος πάντων όλους όσους εμπλέκονται σε αυτό που λέμε εκπαίδευση. Φέτος είπα, θα γράψω αυτά που με απασχολούν και σας τα αφήνω...

Μου άρεσε πολύ η ανάρτηση του φίλου Κώστα Δόρτσιου για την παρουσιάση του θέματος Γ3 των φετεινών εξετάσεων, όπως έχει αναρτηθεί εδώ
www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=133&t=62026&sid=f28201d898b9c8bee9db6b51ff014289 .
Το γεγονός αν...

Καλησπέρα :logo: .

Έστω η συνάρτηση $f(x)=(k+1)lnx+ln(x-1)-ln2, x>1$. Να βρεθεί η τιμή του πραγματικού αριθμού $k$ για την οποία το όριο $lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)$ υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός.

Ευχαριστώ.

Γεια σας, να βρεθούν όλοι οι τετραψήφιοι αριθμοί που έχουν την ιδιότητα όταν διαγράψεις οποιοδήποτε ψηφίο του αριθμού αυτού τότε ο αριθμός θα μετατραπεί σε τριψήφιο αριθμό ο οποίος θα διαιρεί τον αρχικό αριθμό. Δηλαδή αν $A=\overline{abcd}$ τότε οι...

Αν $\displaystyle{f(x)=\frac{x-1}{\ln x}, ~~0
$\displaystyle{f(a^2)+f(b^2)\geq 2f(ab)}$

για οποιαδήποτε $\displaystyle{a,b\in(0,1)\cup (1,+\infty),}$ με $\displaystyle{ab\ne 1.}$

Την παραπάνω ανισότητα την κατασκεύασα...

Βρείτε όλους τους πρώτους $\displaystyle{p,q}$ ώστε ο αριθμός $\displaystyle{\frac{\left( 5^{p}-2^{p} \right )\left (5^{q}-2^{q} \right )}{pq}}$ να είναι ακέραιος.

Πρόοδος σε τραπέζιο.png
Δίνεται τραπέζιο $ABCD$ με $\widehat A=\widehat D=90^\circ$ και $AB=a, CD=b, a
$AD, BC$ θεωρούμε τα σημεία $P, Q$ αντίστοιχα, ώστε $PQ||AB$ και $(ABQP)=(PQCD).$

α. Να υπολογίσετε το τμήμα $PQ=c,$...

1.png

Καλησπέρα σε όλους .

Δίνεται ημικύκλιο $(O, 9)$, διαμέτρου $AB$ και κύκλος που εφάπτεται του ημικυκλίου

και της $AB$ στα σημεία $D, C$ αντίστοιχα. Αν $OP=1$, να υπολογίσετε την ακτίνα του εν λόγω κύκλου .

Σε σταθερό κύκλο.png

Δίδονται τα σταθερά σημεία $B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C$ και το μεταβλητό $A$ για το οποίο : $3(AC - AB) = BC$.

Έστω $I$ το έγκεντρο του $\vartriangle ABC$ και $M$ το ( άλλο) σημείο τομής του κύκλου διαμέτρου $AI$ με τον...

Να αποδείξετε ότι η εξίσωση: $\displaystyle{x^{2}+y^{2}+z^{2}+3\left (x+y+z\right )+5=0}$ δεν έχει λύσεις στους ρητούς.

Δεν θα μπορούσα να μην ανταποκριθώ στο κάλεσμα του Χρήστου Ντάβα, οπότε σχολιάζω λίγο την μπάλα του τρέχοντος Παγκοσμίου Κυπέλλου (Ρωσία 2018), βασιζόμενος στις εικόνες της που έχω δει στο διαδίκτυο, ίσως επανέλθω με περισσότερες λεπτομέρειες όταν...

Να υπολογιστεί η σειρά:

$\displaystyle{\mathcal{S} = \sum_{n=1}^{\infty} \left ( 2 \sin^4 \frac{\pi}{2^n} - 6 \cos^2 \frac{\pi}{2^n} \sin^2 \frac{\pi}{2^n} \right )}$

From: George Baloglou
Date: 2016-06-04 19:02 GMT+03:00
Subject: Re: The Topological Mystery Behind The “Brazuca” World Cup Football
To: kostas Zigouris

2016-06-02 0:17 GMT+03:00 kostas Zigouris :
Γιώργο, καλησπέρα

Αν και καθόλου...

Έστω $A, B$ δύο σημεία και $C_1, C_2, ..., C_n$ κύκλοι, με την ιδιότητα να διέρχονται όλοι τους από τα σημεία $A, B$.

Φέρνουμε από το $A$ δύο ευθείες $e_1$ και $e_2$. Η $e_1$ τέμνει τους κύκλους $C_1, C_2,..., C_n$ στα σημεία $M_1, M_2, ... ,M_n$...

και ορθή και μέσο.png

Έστω κύκλος διαμέτρου $AOB$.

1. Να βρεθεί σημείο $S$ του κύκλου τέτοιο ώστε αν γράψουμε τον κύκλο $(A,AS)$ και η $SO$ τον τέμνει ακόμα στο $T$ να είναι: $ST \bot BT$.

2. Έστω $Q$ το αντιδιαμετρικό του $S$ στον κύκλο...