Με αφορμή το

Δίνεται ευθεία$(\epsilon )$

στο επίπεδο και σημεία της $A,O,B$ με

$OA=OB=1,AB=2$

Θεωρούμε σημεία $C,D$ του επιπέδου ώστε

$DO+CO=DA+CA=DB+CB$

Να δειχθεί ότι τα $D,C$ βρίσκονται πάνω στην $(\epsilon )$

Καλημέρα σε όλους. Έχω δει σε κάποιους φακέλους της ιστοσελίδας τον όρο ''συνάρτηση επί''. Μήπως κάποιος θα μπορούσε να μου εξηγήσει τι σημαίνει;

Εστω Ευκλείδιος χώρος $X$
(δηλαδή διανυσματικός χώρος με εσωτερικό γινόμενο πάνω στο $\mathbb{R}$)

Για το $a\in X,a\neq 0$

και τα $x,y\in X$
έχουμε

$\left \| x \right \|+\left \| y \right \|=\left \| x+a \right \|+\left \| y+a \right \|=\left \|...

2+1 κάθετες.png
Έστω $O$ το περίκεντρο τριγώνου $ABC$ και $D, E, F$ σημεία των πλευρών $BC, AC, AB$ αντίστοιχα, ώστε

$DE\bot CO$ και $DF\bot BO.$ Αν $K$ είναι το περίκεντρο του τριγώνου $AEF,$ να δείξετε ότι $KD\bot BC.$

Ορίζουμε τη συνάρτηση $\displaystyle{g(x) = \int_{\log x}^{\infty} \frac{t}{e^t-1} \, \mathrm{d}t}$. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\int_0^1 \left ( g\left ( \frac{1}{x} \right ) + \log x \right ) g(x) \, \mathrm{d}x = -\frac{\pi^4}{30}}$

Δεν...

Σταθερό γινόμενο.png Στο εσωτερικό ισοσκελούς τριγώνου $\displaystyle ABC$ , με βάση $BC=a$ , θεωρούμε μεταβλητό σημείο $S$ , το

οποίο απέχει από το μέσο $M$ της βάσης , όσο απέχει το $M$ από τα ίσα σκέλη . Η κάθετη προς το $MS$

στο $S$ , τέμνει...

Στην ίδια γραμμή.png Σημείο $A$ κινείται στο μείζον τόξο $\overset{\frown}{BAC}$ , κύκλου $(O)$ , βλέποντας την χορδή $BC$ υπό γωνία $60^0$ .

α) Δείξτε ότι το ορθόκεντρο $H$ και το έγκεντρο $K$ του τριγώνου $\displaystyle ABC$ κινούνται στην ίδια...

Φρίζα.png Στο ορθογώνιο $ABCD$ , η κάθετη $BS$ από το $B$ προς την διαγώνιο$AC$ , τέμνει την $CD$ στο σημείο $P$ .

Ο κύκλος $(B,BS)$ τέμνει την $AB$ στο $T$ . Αν το $PTBC$ είναι ορθογώνιο , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AB}{BC}$

Εισαγωγικού τύπου ολυμπιάδα «Βήμα στο μέλλον» του Κρατικού Τεχνικού Πανεπιστημίου Μόσχας Bauman (Πολυτεχνείο)
Μια από τις εκδόσεις των θεμάτων για το 2019.

1. Ένας φοιτητής έγραψε πρόγραμμα που επαναχρωματίζει το πίξελ σε ένα από $128$...

Ακρότητες στην κατασκευή μέσων.png Στις πλευρές $a,b,c$ του σκαληνού τριγώνου $\displaystyle ABC$ επιλέξτε σημεία $A' , B' , C'$ αντίστοιχα ,

έτσι ώστε , η $AA'$ να διέρχεται από το μέσο $M$ της $BB'$ , η $BB'$ να διέρχεται από το μέσο

$N$ της...

Πλευρά τετραγώνου..png
Στο παραπάνω σχήμα να βρεθεί η πλευρά του τετραγώνου $ABCD.$

Ένα 24ωρο μόνο για μαθητές.

Εξεταστής: Δ. Κορωναίος

1. Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases}
x+yw=y+wx=w+xy \\
x^2+y^2+w^2=6
\end{cases}}$

2. Να δειχθεί (χωρίς χρήση παραγώγων) οτι αν η εξίσωση $\displaystyle{x^3-3x^2-3x+\lambda=0}$ έχει το...

1.png

Καλησπέρα .

Από τα υπεραρκετά στοιχεία του παραπάνω σχήματος να βρείτε το μήκος της διαγωνίου $BD$.

Και ίσα και κάθετα.png
Από την κορυφή $A$ τριγώνου $ABC$ φέρνω κάθετες στις $AB, AC$ αντίστοιχα και παίρνω τμήματα $AD=AB$ και

$AE=AC,$ όπως φαίνεται στο σχήμα. Με υποτείνουσα την $BC$ κατασκευάζω το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο

$FBC,$ (τα...

Μπυραρία δίνει τη μπύρα $ Kardaren $ προς $5$€ το λίτρο και τη μπύρα $ Varel $ προς $4,50$€ το λίτρο.

Σ' ένα μεγάλο πάρτυ γενεθλίων αποφασίστηκε να σερβιριστεί μίγμα των δύο μπυρών με ενιαία τιμή $4,80$€ το λίτρο.

Καταναλώθηκαν εν τέλει $75$ λίτρα...

Για τους θετικούς $a\geq b,c$ να αποδειχθεί

$(a+b)^{b}+(a+c)^{c}\geq 2a\sqrt{\dfrac{b^{b}c^{c}}{(a+b)(a+c)}}+4\sqrt{\dfrac{a\cdot b^{b+1}c^{c+1}}{(a+b)(a+c)}}$

και να εξεταστεί αν χρειάζεται η ισότητα.

Νεολογισμός.png Στη βάση $BC$ του ισοπλεύρου τριγώνου $\displaystyle ABC$ , θεωρούμε σημείο $S$ , ώστε : $\dfrac{BS}{BC}=\dfrac{4}{5}}$

Ο κύκλος $(B,BS)$ τέμνει το τμήμα $AS$ στο σημείο $T$ . Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AT}{AS}$

Έστω $a,b,c$ ακέραιοι με $a\neq 0$ και $f(x)=ax²+bx+c,x∈R.$

Επίσης για τους ακέραιους $k,l,m$ ισχύει $ f(k)=f(l)=0, f(m)=z\neq 0$ όπου $z$ ακέραιος (σταθερός).

Να βρεθεί η μέγιστη δυνατή τιμή της διακρίνουσας του τριωνύμου $f(x).$

Δίνεται οξυγώνιο και ισοσκελές τρίγωνο $ABC (AB=AC)$ και ένα εσωτερικό του σημείο $P$. Αν $M$, $N$ είναι τα σημεία τομής του

κύκλου $\mathcal{C}(A, AP)$ με τις $AB$ και $AC$ αντίστοιχα, να βρείτε τη θέση του $P$ ώστε το άθροισμα $MN+BP+CP$ να...

Ανακοινώθηκε Η εξεταστέα ύλη για τη Γ' Λυκείου 2019-2020

Καλημέρα σε όλους.
Δύο λόγοι.PNG
Δίνεται το παραλληλόγραμμο $ABCD$ . Θεωρούμε τα $E \in CD$ και $N \in AB$ ώστε $\dfrac{DE}{EC}=\dfrac{BN}{AN}=\Phi $ ,όπου $\Phi$ ο χρυσός αριθμός .

Οι $AE,DN$ τέμνονται στο $F$ και οι $BF,AD$ στο $I$. $a$) Να...

shape.png Στο παραπάνω σχήμα δίνονται: $BA = BC,\,BD = AC,\,\angle B = {100^ \circ }$. Να βρείτε τη γωνία $CAD = x$

Το τρίτο τμήμα.png Σημείο $P$ κινείται επί της πλευράς $AC$ , ώστε : $AP=kc , k\in(0,1)$ .

A) Υπολογίστε το τμήμα $AS$ , συναρτήσει των $k,c$ .

B) Για ποια θέση του $P$ προκύπτει : $(ASP)=(SPCM)$ ;

shape.png Το $ABCD$ είναι τετράγωνο, του οποίου ζητείται η πλευρά $a$ .

Στο παρελθόν έχουμε δει παρεμφερείς ασκήσεις στο :logo: . Δεκτές όλες οι λύσεις, αλλά η πρόκληση είναι να λυθεί χωρίς τριγωνομετρία.