Στο παρακάτω τετράγωνο 4x4 επιλέγουμε τυχαία έναν αριθμό και διαγράφουμε τους αριθμούς της γραμμής και στήλης στην οποίαν ανήκει. Επαναλαμβάνουμε άλλες τρεις φορές με τους εναπομείναντες αριθμούς (όπως βλέπετε στο παρακάτω παράδειγμα). Προσθέστε...

Εστω
$f: \rightarrow \mathbb{R}$
τετραγωνικά ολοκληρώσιμη συνάρτηση.
Αν για
$k=0,1,2,...n$
είναι
$\displaystyle \int_{-1}^{1}f(x)x^{k}dx=1$
να δειχθεί ότι
$\displaystyle \int_{-1}^{1}f^{2}(x)dx\geq 2(1+\frac{1}{3}....+\frac{1}{2n+1})$

Είναι...

Καλή πρόοδο με αμβλυγώνιο.png
Το $ABC$ είναι αμβλυγώνιο τρίγωνο του οποίου οι πλευρές $c, b, a$ είναι ακέραιοι διαδοχικοί όροι

αριθμητικής προόδου με διαφορά $w=2.$ Στις κορυφές $B, C$ φέρνουμε τις εφαπτόμενες του

περιγεγραμμένου του κύκλου που...

Καλησπέρα σε όλους και σε όλες. Παρακάτω επισυνάπτω το διαγώνισμα που θα βάλω στους μαθητές μου στην Α' Λυκείου. Σχόλια όπως παντα απαραίτητα!

Φιλικά,
Μάριος

Εστω

$a_{i}\in \mathbb{R},i=1,2,...,N$

Να δειχθεί ότι για κάθε

$x\in \mathbb{R}$

είναι

$\displaystyle \sum _{1\leq i

Ορθογώνιο σε τεταρτοκύκλιο.png Με βάση τμήμα $OS$ της ακτίνας $OA$ , τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AB}$ , σχεδιάστε ορθογώνιο

$OSTB$ , ώστε αν η $ST$ τέμνει το τόξο στο $P$ , η $BP$ να διχοτομεί την $\widehat{TBS}$ .

Συγκρίνατε τώρα την...

Έστω μια $f:\Re \rightarrow \Re$
παραγωγίσιμη , γνησίως αύξουσα και κυρτή. Να βρεθεί το : $\lim_{x\to \infty} f (x)$

Κατά πάσαν πιθανότητα τραπέζιο.png Από το μέσο $M$ της υποτείνουσας $BC$ , ορθογωνίου τριγώνου $\displaystyle ABC$ , φέρω κάθετες

προς τις $AC,AB$ , επί των οποίων εξωτερικά του τριγώνου θεωρώ σημεία $D,E$ , ώστε

τα $D,A,E$ να είναι συνευθειακά ....

Αν οι θετικοί πραγματικοί $a$, $b$, $c$ ικανοποιούν την $abc=1$, αποδείξτε ότι $\displaystyle{\left(a+1\right)^b\left(b+1\right)^c\left(c+1\right)^a\geq8.}$

Να αποδειχθεί ότι για κάθε $c>0$ είναι $\displaystyle{\lim _{n\to \infty} \left ( \frac {1+ \sqrt c}{2} \right ) ^n= \sqrt c}$.

(Γνωστή άσκηση αλλά ψάχνω απλούστερη απόδειξη από αυτήν που ξέρω).

Ανοιχτή Ολυμπιάδα Φυσικομαθηματικού Λυκείου 239 Αγίας Πετρούπολης για τις τάξεις 10η και 11η , 2014.

1. Ο Πέτρος και ο Βασίλης παίζουν ένα παιχνίδι. Τα παιδιά με την σειρά (ξεκινάει ο Πέτρος) σημειώνουν μη μηδενικούς φυσικούς αριθμούς, που δεν...

Χαίρετε! Ο (πολυμήχανος) Οδυσσέας από τη συλλογή > θέλησε να ασχοληθεί με το πρόβλημα που ακολουθεί:
Ο Οδυσσέας και το εμβαδόν τριγώνου.PNG
Το $AD$ είναι ύψος του τριγώνου $ABC$ με $AD=CD=1$. Στην προέκταση της $BA$ παίρνουμε $AE=AB$ .

Αν η $ED$...

Αν $\displaystyle a>1$ και $\displaystyle {{a}^{x}}\ge {{x}^{a}}$ για κάθε $\displaystyle x>0$ , τότε $\displaystyle a=e$

!!!!

Μέγιστο ύψος.png $\bigstar$Στην πλευρά $AB=a$ του τετραγώνου $ABCD$ , κινείται σημείο $E$ και έστω :

$AE=x$ . Θεωρώ σημείο $Z$ της $BC$ , ώστε : $ZE \perp DE$ .

α) Βρείτε συνάρτηση $f(x)$ , η οποία να υπολογίζει το μήκος του $BZ$ συναρτήσει του...

Με αφορμή αυτό

Εστω $I,J$ ανοικτά διαστήματα και

$f:I\rightarrow \mathbb{R},g:J\rightarrow \mathbb{R}$

παραγωγίσιμες συναρτήσεις ώστε $C_{f}\cap C_{g}= \o$

Εστω $A=(x_{1},f(x_{1}))\in C_{f},B=(x_{2},g(x_{2}))\in C_{g}$

Αν για κάθε $\Gamma...

τετράγωνο και κύκλοι.png

Δίδεται τετράγωνο $ABCD$ . Σημείο $S$ κινείται στη πλευρά $AB$. Η διχοτόμος της $\widehat {SDC}$ τέμνει την $BC$ στο $E$ . Έστω $T$ η προβολή του $E$ στην $DS$.

Γράφω τον κύκλο $({C_1})$ που διέρχεται από τα $A,D,T$...

Να υπολογιστεί το όριο:

$\displaystyle{\ell = \lim_{x \rightarrow 1^+}\left (1 - \frac{1}{x}\right)^x \left }$

Παλλόμενη χορδή.png Από σημείο $S$ του νοτίου ημικυκλίου του κύκλου : $x^2+y^2=25$ , φέρω εφαπτόμενες

προς τον κύκλο : $(x-2)^2+y^2=9$ , οι οποίες τέμνουν τον αρχικό στα $A,B$.

Βρείτε τη θέση του $S$ , ώστε : α) $AB=8$ ... β) $AB=9$ ... γ)...

Αν δίνεται σε μια άσκηση ότι $f''(x_0)=l\in\mathbb{R}$,τότε θεωρητικά αυτό σημαίνει ότι η f είναι παραγωγίσιμη κοντά στο $x_0$,σωστά;
Πρακτικά αυτό σημαίνει ότι μπορώ να χρησιμοποιήσω τους κανόνες DLH χωρίς να δίνετε ότι είναι παραγωγίσιμη,σωστά;

Καλημερα σας. Τι θα προτεινατε σε εναν μαθητη ΕΠΑΛ ,για να καλυψει τα κενα σε μαθηματα οπως Μαθηματικα / Φυσικη ουτως ωστε να ανταπεξελθει στο επιπεδο ενος ΤΕΙ ; (Εχω την ευχερεια να παω φροντιστηριο)

Διχοτόμος και πρόοδος.png Στην προέκταση της ακτίνας $OA$ , κύκλου $( O,r) $ , θεωρούμε σημείο $S$ , ώστε : $AS=r$ .

Από το $S$ διέρχονται δύο τέμνουσες του κύκλου εκατέρωθεν της $OS$ , οι οποίες σχηματίζουν

ίσες γωνίες με την $OS$ και οι οποίες...

Έστω η συνεχής συνάρτηση $f:\left \longrightarrow \mathbb{R}$. Να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\displaystyle \int_{-1}^{1}f(x)\left ( 1-x^{2} \right )^{n}\textup{d}x}{\displaystyle \int_{-1}^{1}\left ( 1-x^{2}...

Για κάθε $n\in \left \{ 1,2,3,\ldots \right \}$ ορίζουμε $f(n)$, το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης:

$\displaystyle{\sin x=1+\left ( x-\frac{\pi }{2} \right )\cos x}$

στο ανοιχτό διάστημα $\displaystyle{\left ( \frac{\pi }{2},n\pi +\frac{\pi...