Για $a> 0$

να εξετάσετε ως προς την σύγκλιση την σειρά

$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty }\dfrac{\cos (\log k)}{k^{a}}$

Όμορφο ισοσκελές.png Κατασκευάστε ( προσοχή : όχι σχεδιάστε ! ) τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , στο οποίο

τα τρία μπλε τμήματα να είναι μεταξύ τους ίσα , καθώς και τα 2 κόκκινα .

Δύο προτάσεις.png

Σημείο $S$ διατρέχει ημικύκλιο κέντρου $M$ και διαμέτρου $CD$ .

Έστω$B$ η προβολή του $S$ στη διάμετρο $CD$. Αν εφαπτομένη του ημικυκλίου στο $S$ τέμνει την ευθεία $CD$ στο $A$ τότε Δείξετε:

1. $BC \cdot BD = BA \cdot BM$ και...

Ελαχιστοποίηση εμβαδού 12.png Από σημείο $S$ μιας ευθείας που εφάπτεται σε κύκλο $(O,r)$ σε σημείο του $A$ ,

φέρουμε και το ( άλλο) εφαπτόμενο τμήμα $SP$ . Η $PO$ τέμνει την προέκταση

της $SA$ στο $T$ . Υπολογίστε το ελάχιστο εμβαδόν του τριγώνου...

Έστω $a,b\in \mathbb{R}$ και η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ για την οποία, $f(\pi)=\pi$ και για κάθε $x\in \mathbb{R}$ ισχύει $\displaystyle{f(x)=\left | \sin \left ( ax \right )-bx \right |}$. Να αποδείξετε ότι:...

Στο παρακάτω σχήμα είναι $\hat{\rm A}=90^\circ$ , ${\rm A \Gamma}=\lambda$, ${\rm AB}=\sqrt{1-\lambda^2}$ και $\cos \omega = 3\lambda^2 -9\lambda +4$.

$\displaystyle{\begin{tikzpicture}
\draw (0,3)-- (0,0);
\draw (0,0)-- (4,0);
\draw (4,0)--...

Να βρεθούν δυο ετερόσημοι αριθμοί με άθροισμα $9$ και άθροισμα απόλυτων τιμών $25$.

GEOMETRIA197=9point 6.png

Ο κύκλος των εννέα σημείων (κύκλος Euler) του σκαληνού τριγώνου $ABC$ αποκόπτει ίσα ευθύγραμμα τμήματα στις πλευρές $AB, AC$.

Βρείτε το μέτρο της γωνίας $\hat{BAC}$

Η συνάρτηση : $f(x)=\dfrac{lnx}{x-1}$ , καθίσταται συνεχής στο $(0 , +\infty)$ ,

αν ορίσουμε $f(1)=1$ . Δείξτε ότι : $\displaystyle \int_1^e f(x)dx <\dfrac{e}{2}$

Να υπολογιστεί η παράσταση $A=\sin 1^\circ \sin 2^\circ \cdots \, \sin 89^\circ$.

Υ.Γ. Η άσκηση είναι για τους μεγάλους. Πρέπει να έχουν έναν καλό λόγο για να μείνουν στο σπίτι, γιατί στην ηλικία τους, δεν επιτρέπονται συγκινήσεις! :lol: Οι...

Μέγιστο συνημίτονο.png Από σημείο $S$ που κινείται επί ημικυκλίου , φέρουμε το κάθετο προς τη διάμετρο $AB$ ,

τμήμα $ST$ και ονομάζω $M$ το μέσο του . Η $BM$ τέμνει την $AS$ στο σημείο $P$ .

Υπολογίστε τη μέγιστη τιμή του $\cos\theta$ .

Για ποια $n\in \mathbb N$ ο αριθμός $\displaystyle{2^n+2^{11}+2^8}$ είναι τέλειο τετράγωνο;

(Νομίζω κάνει για Επίπεδο Ευκλείδη).

Να βρείτε για ποιές τιμές της παραμέτρου $a$ μια από τις ρίζες της εξίσωσης

$(a^2+a+1)x^2 + (2a-1)x+a^2 = 0$

είναι μεγαλύτερη του $2$ και η άλλη μικρότερη του $2$.

Διαγώνισμα 14 Επίπεδο: Αρχιμήδης/Προκριματικός Seniors

Πρόβλημα 1
Αν οι $x,y,z$ είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί με άθροισμα $3$ να αποδείξετε την ανισότητα:...

Δίνονται δύο κύκλοι ${c_1},\;{c_2}$ με διάκεντρο μεγαλύτερη από το άθροισμα των ακτινών τους (αυτό απλά το δίνουμε για να έχουμε ανοικτότερο σχήμα) και δύο σημεία $A,\;B$ των ${c_1},\;{c_2}$ αντίστοιχα. Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων $M$ του...

Ανοιχτή Ολυμπιάδα Φυσικομαθηματικού Λυκείου 239 Αγίας Πέτρούπολης για τις τάξεις 8η και 9η , 2012

1. Σε σκακιέρα $12 \times 12$ είναι τοποθετημένοι μερικοί ίπποι, εξάλλου σε κάθε τετράγωνο $2 \times 2$ είναι τοποθετημένος τουλάχιστον ένας...

Να εξετασθεί, ως προς την σύγκλιση, η σειρά

$\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{{n}=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}\sqrt{n}}{(-1)^n+\sqrt{n}}\sin\big(\tfrac{1}{\sqrt{n}}\big)$

Για τις διάφορες τιμές του πραγματικού $\alpha$, να εξετασθεί η σύγκλιση της σειράς

$\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{{n}=2}^{\infty}\bigg(\mathop{\prod}\limits_{\kappa=2}^{n}\big(2-{\rm{e}}^{\frac{\alpha}{\kappa}}\big)\bigg)$

Δια τρία.png Σε κύκλο $(O)$ σχεδιάσαμε τις εφαπτόμενες στα άκρα χορδής $AB$ . Το ζητούμενο είναι

να αχθεί ευθεία παράλληλη προς την $AB$ ( πέραν του κέντρου ) , η οποία να τέμνει

τις εφαπτόμενες στα $P,T$ και τον κύκλο στα $S,Q$ , ώστε...

Εστω $f: \rightarrow \mathbb{R}$

παραγωγίσημη ώστε υπάρχει $M > 0$

με $\left | f'(x) \right |\leq M,x\in $

1)Να δειχθεί ότι η $f'$ είναι Lebesgue ολοκληρώσιμη.

2)Για $x\in $ είναι

$f(x)=f(a)+\int_{a}^{x}f'(t)dt$

(εννοείτε ότι τα ολοκληρώματα...

Για $0\leq x\leq \frac{1}{4}$

Να δειχθεί ότι

$\ln (2-e^{x})+x+4x^{2}\geq 0$

Χρειάζεται στο

GEOMETRIA196=FB1781.png
Εστω $H$ το ορθόκεντρο τριγώνου $ABC$, $D$ το μέσον του ελλάσονος τόξου $BC$ του περίκυκλου $BHC$ και $F$ το μέσον του $AD$.

Δείξτε οτι το $F$ είναι το σημείο $Feuerbach$ του $ABC$, τότε και μόνο τότε αν, $AB+AC=2BC$

Να βρεθούν όλα τα μη σταθερά πολυώνυμα $P(x), Q(x)$ με πραγματικούς συντελεστές που είναι τέτοια ώστε

$\displaystyle{P(x)^{10}+P(x)^9=Q(x)^{21}+Q(x)^{20}}$

Μήπως γίνεται να με βοηθήσετε στην επίλυση μιας άσκησης; Η άσκηση είναι :
Δίνονται οι κύκλοι $(x-2\lambda) ^2+(y-3\lambda) ^{2}=1$
, όπου $\lambda \epsilon R$.
Να αποδείξετε ότι κάθε κύκλος εφάπτεται σε δύο σταθερές ευθείες των οποίων να...