Σας θέλω παράλληλες.png Σε σημείο $Q$ της προέκτασης της διαμέτρου $WE=4$ κύκλου $(O)$ , για το οποίο είναι :

$EQ=3$ , υψώνουμε κάθετη επί της οποίας κινείται σημείο $S$ , από το οποίο φέρουμε

τα εφαπτόμενα τμήματα $SP , ST$ . Για ποια θέση του...

Με αφορμή πρόσφατη άσκηση:
Έστω τρίγωνο $ABC, AD, BE, CZ$ τα ύψη του, $O$ το περίκεντρο και $H$ το ορθόκεντρο του. Αν $M$ είναι το μέσο της $BC$ και η $MH$ επανατέμνει τον κύκλο $OMD$ στο $T$ και οι $ZE, TO$ τέμνονται στο $L$, να αποδείξετε ότι...

Για πολλά χρόνια, ο βαρόνος ξεκινά κάθε μέρα πηγαίνοντας για κυνήγι πάπιας.
Την 1η Αυγούστου 2025 είπε στον μάγειρά του:
«Σήμερα έπιασα περισσότερες πάπιες απ’ ό,τι πριν από δύο μέρες, αλλά λιγότερες απ’ ό,τι πριν από μία εβδομάδα».

Ποιος είναι ο...

.
Το $\dfrac {1}{19}$ της ηλικίας της Άννας είναι ίσο με το $\dfrac {1}{17} $ της ηλικίας της Βάσως. Το άθροισμα των ηλικιών τους είναι πάνω από $40 $ αλλά κάτω από $100 $ χρόνια. Πόσο χρονών είναι η καθεμία;

(Ας την αφήσουμε $24$ ώρες για τους...

Δίνεται τρίγωνο $ABC$. Κύκλος $\omega$ εφάπτεται των πλευρών $AB$ και $AC$ και του κύκλου $(ABC)$.
Η διχοτόμος της γωνίας $ABC$ τέμνει την πλευρά $AC$ και τον κύκλο $(ABC)$ στα σημεία $X$ και $Y$ (όπου $Y\neq B$)
αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι ο...

Απίθανη ισότητα.png Πάνω στην διχοτόμο της γωνίας $\hat{A}$ , τριγώνου $ABC , (AB
τέτοιο ώστε : $AS=\sqrt{bc}$ . Η ευθεία η οποία διέρχεται από το $S$ και το μέσο $M$ της $BC$ ,

τέμνει την πλευρά $AC$ στο σημείο $T$....

Αγαπάτε παραλλήλους.png Στην πλευρά $AC$ τριγώνου $ABC$, με $AB
με την ιδιότητα : Αν τα σημεία τομής με τις $AB , AC$ είναι τα σημεία $S , T$ αντίστοιχα , να είναι : $ST \parallel...

Διαφορετικοί στόχοι.png Στις πλευρές της ορθής γωνίας $\widehat{A}$ , θεωρούμε σημεία $B,C$ , τέτοια ώστε : $AB=3 , AC=2$ . Στην προέκταση

της $AB$ κινείται σημείο $P$ , από το οποίο φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα $PT , PS$ προς τον κύκλο $(A,B,C)$...

Δίνεται τρίγωνο $ABC$ με ορθοκεντρο $H$ και περικεντρο $O$ και $D,E,F$ τα ίχνη των υψών του στις $BC,CA,AB$ αντίστοιχα. Πάνω στην ευθεία $EF$ υπάρχει σημείο $X$, για το οποίο $BC\parallel HX.$ Να δείξετε ότι $\angle XDO=90^\circ.$

Έστω $ABC$ ένα οξυγώνιο τρίγωνο και $D, E, Z$ οι ορθές προβολές των κορυφών του στις απέναντι πλευρές. Αν $L$ η ορθή προβολή του σημείου $D$ στην ευθεία $EZ$, να δείξετε ότι η ευθεία $LD$ είναι διχοτόμος της γωνίας $BLC$.

.
Να Χ ή να μην Χ;.png
.
Ο Θαλής θέλει να τοποθετήσει τους αριθμούς 1 έως 8, από μία φορά τον καθένα, στα οκτώ τετράγωνα του παραπάνω σχήματος. Θέλει τα τετράγωνα που περιέχουν δύο διαδοχικούς αριθμούς να μην έχουν κοινή πλευρά ή κοινή κορυφή....

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2026
Θέματα της 1ης φάσης για την 11η τάξη, 15 Νοεμβρίου 2025

1. Μια ομάδα δεκαέξι ανθρακωρύχων εξορύσσει λιγνίτη. Όλοι τους δουλεύουν με την ίδια σταθερή ταχύτητα. Ο ανθρακωρύχος κ. Ανθρακίτης αποφάσισε να...

.
Δίνονται $108$ λευκοί και $108 $ μαύροι κύβοι ο καθένας από τους οποίους έχει ακμή $1$ cm. Με τους κύβους αυτούς κτίζουμε έναν $6\times 6\times 6$ κύβο πλευράς $6 $cm. Ποιο είναι το μικρότερο δυνατόν συνολικό μαύρο εμβαδόν που θα μπορούσε να έχει...

Το μικρότερο.png Από σημείο $O$ φέραμε τις εφαπτόμενες στον κύκλο $(K)$ , του οποίου έστω $S$ ένα σημείο .

Η εφαπτομένη του κύκλου στο $S$ , τέμνει τις άλλες εφαπτόμενες στα σημεία $P , T$ . Άλλη

ευθεία διερχόμενη από το $S$ τις τέμνει στα σημεία...

Τα παιδιά σε μια οικογένεια έχουν διαφορετικές ηλικίες. Το γινόμενο των ηλικιών τους είναι 2025. Ποιος είναι ο μεγαλύτερος δυνατός αριθμός παιδιών που θα μπορούσε να έχει αυτή η οικογένεια;

(Ας την αφήσουμε $24$ ώρες για τους μαθητές μας Γυμνασίου).

Επίλυση τριγώνου.png Στο τρίγωνο $ABC$ , με : $AB=4 , BC=5 , CA=6$ , η $AD$ είναι διχοτόμος .

Φέρουμε $DS \parallel BA$ . Υπολογίστε την περίμετρο και το εμβαδόν του τριγώνου $SBD$ .

Ο Ελαιοχρωματιστής.png Ευθεία διερχόμενη από το σημείο $S(7,3)$ , τέμνει τον ημιάξονα $Ox$ στο σημείο $A$ και την ευθεία $y=0$

στο σημείο $B$ . Για ποια θέση του $A$ έχουμε ελαχιστοποίηση του $(BOA)$ ; Τι παρατηρείτε ; Εξετάστε

αν η παρατήρησή...

Μια όμορφη ομοιότητα τριγώνων.png
Έστω οξυγώνιο τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και ο περιγεγραμμένος του κύκλος $\left( O \right)$ , κέντρου $O$. Έστω $AD,BE,CF$ τα ύψη του και $H$ το ορθόκεντρό του. Να δειχθεί ότι τα τρίγωνα $\vartriangle...

Να βρεθούν $ 25$ διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί οι οποίοι έχουν άθροισμα $25^{2025}$.

(Ας την αφήσουμε $24$ ώρες για του μαθητές μας του Γυμνασίου).

Καλησπέρα,

Ποιά εξήγηση θα δίνατε συνάδελφοι σε έναν μαθητή Γ' Γυμνασίου, που ενδιαφέρεται για αυτό;

Πριν χρόνια είχαμε δει αυτό το πρόβλημα .

Έστω $a \in \mathbb{R} \mid |a| 0$. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\int_{0}^{\infty} \ln \left( \frac{1 + a \sin^2 bx}{1- a \sin^2 bx} \right) \frac{1}{x^2} \, \mathrm{d}x = \pi b \left( \sqrt{1+a} -...

Τμηματική παραδοξότητα.png Στις πλευρές της γωνίας $xOy$ , με : $\cos\hat{O}=\dfrac{4}{5}$ , θεωρούμε σημεία $A , B$ , ώστε : $AB=6$ .

Η κάθετη της $OA$ στο $A$ τέμνει την $Oy$ στο σημείο $T$ . Παρόμοια ορίζεται το σημείο $S$ της $Ox$ .

α)...

Ύποπτη διαφορά.png Στην προέκταση της ακτίνας $OA$ του κύκλου $(O,4)$ θεωρούμε σημείο $S$ , τέτοιο ώστε : $AS=x$

και φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα $ST$ . Για ποιο $x$ είναι : $(TAS)-(TOA)=\dfrac{4}{5}\sqrt{21}$ ;