Υπερισοσκελές.png Ονομάζουμε το τραπέζιο $ABEZ$ υπερισοσκελές αν έχει τρεις πλευρές ίσες .

Στην πλευρά $DC$ του ορθογωνίου $ABCD$ , εντοπίστε σημεία $Z,E$ , ώστε

το τραπέζιο $ABEZ$ να είναι υπερισοσκελές . Δεκτές και οι υπολογιστικές

λύσεις , με...

Τετραγωνικό θαύμα.png Εξωτερικά τετραγώνου $ABCD$ σχεδιάσαμε ημικύκλιο διαμέτρου $BC$ .

α) Εντοπίστε σημείο $S$ του ημικυκλίου , έτσι ώστε : $DS=3BS$ .

β) Η κάθετη προς από το $B$ προς την $DS$ τέμνει το τόξο στο σημείο $P$ .

Υπολογίστε το λόγο...

Πάνω στον κύκλο $(O)$ δίνονται έξι σημεία $A,B,C,D,E,F$.

Ισχύουν:

$\bullet \,\, BD$ είναι η διάμετρος του κύκλου

$\bullet \,\, BD \perp CF$ και

$\bullet$ οι $CF,BE,AD$ συντρέχουν στο $P$.

Έστω $BM \perp AC, DN \perp CE$. Δείξτε ότι...

Εστω ακολουθία $(a_{n})_{n\in \mathbb{N}}$

με $a_{n}\rightarrow 0$

Να δειχθεί ότι υπάρχει ακολουθία $(c_{n})_{n\in \mathbb{N}}$

με $c_{n}=1 or -1$

ώστε η σειρά $\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}c_{n}$

να συγκλίνει

Καλημέρα σε όλο το mathematica! Ευχές και χρόνια πολλά για τους Γιώργους που γιορτάζανε εχθές και για το Πάσχα που μας πέρασε.
Θα ήθελα από αυτήν την διαδικτυακή πλατφόρμα να σας ενημερώσω ότι πολύ πρόσφατα κυκλοφόρησε το ακόλουθο ηλεκτρονικό...

Αν οι θετικοί αριθμοί a,b,c έχουν άθροισμα τετραγώνων ίσο με το 3, να αποδειχθεί ότι:

$\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}\geq \frac{3}{2}$

Χρόνια πολλά στους Γιώργους και Γεωργίες για χθες!

Επισυνάπτω τη λύση μου στην ανισότητα S435 από το Mathematical Reflections 2018 τ.1 :lol:
(βέβαια αρκετά απλή για Seniors)

MR-S435-dion.png

Συνευθειακά 12.png Για το σημείο $D$ της βάσης $BC$ τριγώνου $\displaystyle ABC$ , είναι : $DC=3BD$ . Έστω σημείο $S$

της πλευράς $AC$ . Η παράλληλη από το $D$ προς την $BS$ τέμνει την $AC$ στο σημείο $P$ .

Ονομάζουμε $N$ την τομή των $AD,BS$ και...

Να βρεθούν όλες οι πραγματικές λύσεις της εξίσωσης:

$\displaystyle 17^x + 2^x = 11^x + 2^{3x}$

Έστω αυστηρώς φθίνουσα συνεχής συνάρτηση $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ώστε

$\displaystyle f(f(x))^4 - f(f(x)) + f(x) = 1$

για κάθε $x \in \mathbb{R}$. Να βρεθούν όλες οι δυνατές τιμές (πεπερασμένες ή άπειρες) του

$\displaystyle \lim_{x \to...

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

$\displaystyle \iint_{\mathbb{R}^2} \left( \frac{1-e^{-xy}}{xy}\right)^2e^{-x^2-y^2} \, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y$

Χρωματίζονται $n$ σημεία στο $\mathbb{R}^3$. Σε κάθε βήμα, αν υπάρχουν τέσσερα συνευθειακά χρωματισμένα σημεία, ο Vojtěch μπορεί να χρωματίσει οποιοδήποτε άλλο σημείο της ευθείας θέλει. Παρατηρεί ότι με πεπερασμένο πλήθος βημάτων, μπορεί να...

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}^{\ast }$ με $f(0)=1$, τέτοια ώστε για κάθε $x\in \mathbb{R}$ να ισχύει:

$\displaystyle{f'(x)\left ( 1+\frac{1}{f(x)} \right )=-2x\left ( e^{-x^{2}}+1 \right )}$

Να...

Λόγος από λόγο.png Από την κορυφή $A$ του - πλευράς $a$ - ισοπλεύρου τριγώνου $\displaystyle ABC$ , διέρχεται ευθεία

παράλληλη προς την $BC$ , επί της οποίας εντοπίστε σημείο $S$ , ώστε να είναι :

$SB=2SA$ . Αν η $SB$ τέμνει την $AC$ στο σημείο...

Έστω θετικοί $x, y \in \mathbb{Q}$ τέτοιοι ώστε ο $x^n - y^n$ είναι ακέραιος για άπειρο πλήθος τιμών του $n \in \mathbb{N}$. Αποδείξτε ότι οι $x, y$ είναι ακέραιοι.

Εστω $f: \rightarrow \mathbb{R}$

παραγωγίσημη ώστε υπάρχει $M > 0$

με $\left | f'(x) \right |\leq M,x\in $

1)Να δειχθεί ότι η $f'$ είναι Lebesgue ολοκληρώσιμη.

2)Για $x\in $ είναι

$f(x)=f(a)+\int_{a}^{x}f'(t)dt$

(εννοείτε ότι τα ολοκληρώματα...

ΑΝ $a,b\in N$ και $9|a^{2}+ab+b^{2}$. Να δείξετε ότι $3|a$ και $3|b$.

Μία χαριτωμένη άσκηση που βρήκα σε ένα φυλλάδιο $24$ σελίδων με Γεωμετρικά θέματα στα Λατινικά, εκδοθέν το $1640$. Πρόκειται για το Strena Mathematica (Αστέρια των Μαθηματικών) του Welandus. Το φυλλάδιο είναι πολύ σπάνιο και το έψαχνα πολλά χρόνια....

Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου $a$, για κάθε μία από τις οποίες η εξίσωση

$x^3+4x^2-x\ln (a-3) +6=0$

έχει μοναδική λύση στο διάστημα $ $.

Υποτροφίες της Ιταλικής κυβέρνησης για σπουδές στην Ιταλία. Πληροφορίες εδώ .

Προσοχή, η καταληκτική ημερομηνία είναι σε μια βδομάδα, αλλά τα τζίνια του Υπουργείου έστειλαν σήμερα την εγκύκλιο.

Δεν ξέρω περισσότερα, άσε που δεν μπορώ να ανοίξω το...

Μεγιστοποίηση εμβαδού 26.png Η χορδή $AB$ του κύκλου $(K)$ , είναι παράλληλη προς τον άξονα $x'x$ .

Για ποια θέση της , μεγιστοποιείται το $(OAB)$ ;

Έστω θετικός ακέραιος $n$ και πραγματικοί αριθμοί $a_1 \leqslant a_2 \leqslant \cdots \leqslant a_n$ ώστε

$\displaystyle a_1 + 2a_2 + \cdots + na_n = 0$

Να αποδειχθεί ότι

$\displaystyle a_1 + a_2 + \cdots + a_n \geqslant 0$

για κάθε πραγματικό...

GEOMETRIA197=FB1794.png

Εστω τρίγωνο $ABC$, $M$ το μέσον της $BC$ και $S, T$ τα σημεία επαφής των εγκύκλων $ABM, AMC$ με τις $AB, AC$ αντίστοιχα.

Οι παράλληλες από τα $S, T$ προς τις $MT, MS$ αντίστοιχα, τέμνονται στο $P$.

Αν $I$ το έγκεντρο του...

Μεγιστοποίηση εμβαδού 12.png Σχεδιάσαμε τους ομόκεντρους κύκλους $(O,r)$ και $(O,2r)$ και ένα ορθογώνιο τρίγωνο

$\displaystyle ABC (\hat{A}=90^0)$ , με τις κορυφές $A,B$ στον μικρό κύκλο και την $C$ στον μεγάλο .

Επιλέξτε το $ABC$ με το μέγιστο...