shape.png Στο παραπάνω ημικύκλιο, να βρείτε το μέτρο της γωνίας $a = \angle BCE$

εδώ

Για τους αριθμούς $\displaystyle{a_{1}, a_{2}, \dots , a_{42}}$ επαληθεύονται οι ισότητες $a_{n} = f\left (a_{n} \right)$ ,$ n=1,2, \dots , 41$.
Να βρείτε την διαφορά $a_{13}-a_{10}$, αν $a_{42}=0$ και

$f(x) = \left\{\begin{matrix}...

Άσκηση 1
Έστω $\displaystyle f:[2,+\infty )\to R$ με $\displaystyle f(x)={{x}^{2}}+4x+1$. Να δείξετε ότι είναι $\displaystyle 1-1$ και να βρείτε την $\displaystyle {{f}^{-1}}(x)$
Λύση
$\displaystyle f(x)={{x}^{2}}+4x+1={{(x+2)}^{2}}-3$ και...

Κάποιος με διαβεβαίωσε ότι, σύμφωνα με το κομπιουτεράκι του, ο αριθμός $\displaystyle{2^{29}}$ είναι εννιαψήφιος και όλα τα ψηφία του είναι διαφορετικά. Με άλλα λόγια κάποιο από τα δέκα ψηφία $0,1,2,...,9$ δεν εμφανίζεται στο δεκαδικό ανάπτυγμα του...

Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ με $\displaystyle{AB=4}$ και $\displaystyle{G}$ το βαρύκεντρο αυτού.
Μεταβλητό σημείο $\displaystyle{M}$ κινείται στην περίμετρο του τριγώνου αυτού και για το
τρίγωνο $\displaystyle{GMN}$ ισχύει:...

Αποδείξτε ότι το πλήθος των λύσεων της ισοτιμίας

$\displaystyle{
x^2 + y^2 \equiv 1\pmod{p},
}$

με $0 < x < p$, $0 < y < p$ και $p$ περιττός πρώτο, είναι άρτιος αριθμός αν και μόνο αν $p\equiv \pm 3 \pmod{24}$.

Καλησπέρα :logo:
Αυτή την περίοδο γράφω ένα ερευνητικό κείμενο στην Θεωρία Αριθμών που έχει σχέση με την εξής ερώτηση:
Αν $p$ είναι ένας πρώτος πότε και υπό ποιές συνθήκες έχουμε ότι ο $p$ είναι ανάγωγο στοιχείο στην περιοχή των αλγεβρικών ακεραίων...

Συντεταγμένα.png Από σημείο $A$ της παραβολής $f(x)=ax^2 , a>0$ φέρω την κάθετη $AT$ , την εφαπτομένη $AS$

και μία ημιευθεία $AP$ , ώστε : $\widehat{PAS}=\widehat{TAS}$ . Βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου $P$ .

Δίνεται ημικύκλιο διαμέτρου $\displaystyle{AB=4}$ και σημείο $\displaystyle{M}$ το οποίο κινείται πάνω σ' αυτό.

Θεωρούμε το τρίγωνο $\displaystyle{AMN}$ τέτοιο ώστε:

$\displaystyle{(AM)(AN)=18}$ και $\displaystyle{\widehat{MAN}=30^o}$.

Να...

Έστω $\boxed{\lim_{x \to x_0}f(x)=+\infty}$ και $\boxed{\lim_{x \to x_0}g(x)=+\infty}$.
Τότε ξέρουμε ότι μπορούμε να γράψουμε $\lim_{x \to x_0}(f(x)+g(x))=(+\infty)+(+\infty)$.
Αυτό που θέλω να μάθω είναι, γιατί δεν βλέπω ποτέ στα βιβλία το...

α) Να εκφράσετε το εμβαδόν τριγώνου $ABC$ συναρτήσει των διαμέσων του $m_a, m_b, m_c.$

β) Αν ${m_a} \le 2,{m_b} \le 3,{m_c} \le 4,$ να βρείτε τη μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει αυτό το εμβαδόν.

Εξαιρετική ισότητα.png $\bigstar$ Η $AD$ είναι διχοτόμος του τριγώνου $ABC$ με : $AB
τέτοιο ώστε : $SC=BD$ και φέρουμε $ST \parallel DA$ , ( $T \in AC$ ). Δείξτε ότι : $TC=AB$ .

Δίνονται οι διαφορετικοί ανά δύο πραγματικοί

$a_1,a_2,.....a_n$ , $n>2$ ώστε

$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}=1$

Να δειχθεί ότι υπάρχουν δύο από αυτούς που η απόσταση τους δεν ξεπερνάει

το $\displaystyle \sqrt{\frac{12}{n(n-1)(n+1)}}$

Προβολική ... Γεωμετρία.png $\bigstar$ Σε τυχόν σημείο $S$ , ημικυκλίου διαμέτρου $AB$ , φέρουμε εφαπτομένη και ονομάζουμε $A' , S'$

τις προβολές του μεν $A $ στην εφαπτομένη , του δε $S$ στην $AB$ . Εξετάστε αν : $AA' = AS'$ .

Υπενθυμίζεται ότι...

Το χωρίο $\mathfreak{D}$ περικλείεται από τις καμπύλες $y = \sinh x, \ y = 1$ και τον άξονα των $y.$ Να βρεθεί ο όγκος του στερεού που παράγεται κατά την περιστροφή του χωρίου αυτού γύρω από τις ευθείες
i) $x = 2$
ii) $y = −1$

Στις πλευρές ενός τετραγώνου παίρνουμε μήκη $1,2,3,4$, όπως στο σχήμα και φέρνουμε τις σημειωμένες ευθείες. Αν για τα εμβαδά ισχύει η ισότητα $A+C+E+G=I$, να υπολογίσετε την πλευρά του τετραγώνου.

(Ας την αφήσουμε $24$ ώρες για τους μαθητές μας).

Ο Nobuyuki Yoshigahara (1936-2004) ήταν ένας από τους μεγαλύτερους κατασκευαστές γρίφων, είτε μηχανκών είτε λογικών. Όσοι γνωρίζουν από γριφολογία τον ξέρουν πάρα πολύ καλά (γνωστός με το υποκοριστικό του, Nob) αλλά βλέπε και εδώ για λίγα βιογραφικά...

Εστω
$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$
συνάρτηση.

Θεωρούμε το σύνολο

$E=\left \{ a:\lim_{x\rightarrow a}f(x)=l\neq f(a) \right \}$
($l\in \bar{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup \left \{ \infty ,-\infty \right \}$)

Να δειχθεί ότι το $E$ είναι...

Δίνονται οι πραγματικοί $ x,y$
Αν ισχύει ότι

$(x+\sqrt{x^2+4})^{2}+(y+\sqrt{y^2+4})^{2}=4$

να δείξετε ότι

$x\sqrt {xy^{2}}+y\sqrt {yx^{2}}=1$

σημείωση.
Η άσκηση είναι η από Μαντά η από Κουκλάδα -Γεωργιακάκη.
(την έχω αντιγράψει από καιρό και...

Ελάχιστη διαδρομή.png Το ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ έχει κάθετες πλευρές : $AB=4$ και $AC=3$ . Μεταβαίνουμε

από την κορυφή $C$ σε σημείο $S$ της πλευράς $AB$ και στην συνέχεια ( μεταβαίνουμε ) κάθετα

προς την $BC$ σε σημείο της , $T$ . Υπολογίστε...

1)Για
$0 να βρεθεί το μέγιστο της

$\displaystyle \frac{x(1-x)y(1-y)}{1-xy}$

2)Για
$0 να βρεθεί το μέγιστο της

$\displaystyle \frac{x(1-x)y(1-y)z(1-z)}{1-(1-xy)z}$

Ένα σώμα κυβικού σχήματος με ακμή μήκους $\alpha $ και πυκνότητα $\rho$ ισορροπεί μέσα σε ένα υγρό με πυκνότητα $\rho_0>\rho.$ Τη χρονική στιγμή $t = 0$ προσδίδεται στον κύβο κατακόρυφα και προς τα κάτω μια αρχική ταχύτητα $v_0.$ Υποθέστε ότι η...

65.png

Καλησπέρα .

Στο παραπάνω τετράπλευρο $ABCD$, ζητείται το μέτρο της γωνίας $\theta$ .

Έστω $\displaystyle k,m\in R$ με $\displaystyle k\ne 0$ και οι συναρτήσεις $\displaystyle f(x)=\frac{k{{x}^{2}}+mx+k}{x}$, $\displaystyle x>0$ και $\displaystyle g(x)=\frac{k{{x}^{2}}+mx+k}{x},\,\,\,\,x<0$.

Δείξετε ότι η απόσταση των ολικών...