Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα $\huge \int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}ln(tanx)dx$
Προσωπικά με δυσκόλεψε αρκετά και μου πήρε 2 μέρες να το λύσω, μου άρεσε αρκετά η λύση μου. Θα την ανεβάσω αύριο εάν δεν υπάρξει παρόμοια.

00110001 00110000 00100000 11001111 10000111 11001111 10000001 11001110 10111111 11001110 10111101 11001110 10111001 11001110 10110001 00100000 01101101 01100001 01110100 01101000 01100101 01101101 01100001 01110100 01101001 01100011 01100001...

Να εξετάσετε εάν υπάρχουν πολυώνυμα δευτέρου βαθμού $f(x),g(x)$ και $h(x)$, έτσι ώστε οι ρίζες της εξίσωσης $f(g(h(x)))=0$ είναι οι αριθμοί $1,2,3,4,5,6,7,8$

Άν $\huge {a^b}^{b^a}=\sqrt{2}a$ τότε με πόσο ισούται το πηλίκο $\huge \frac{a^2}{b}$

Καλησπέρα σας!

Όπως έχει γίνει ήδη γνωστό, το επόμενο συνέδριο της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας θα διεξαχθεί στη Λάρισα τον Νοέμβριο του 2019. Παρεμπιπτόντως, το βίντεο της υποψηφιότητας που προβλήθηκε στο συνέδριο της Αθήνας είναι διαθέσιμο εδώ...

GEOMETRIA220-FB2576.png
Στην αναζήτηση σημείου $P$, της βάσης $BC$, τριγώνου $ABC$, ώστε η $AP$ να είναι η Α-συμμετροδιάμεσος του $ABC$,

ανακαλύψαμε ότι το $P$ είναι το μέσον του τμήματος $DM$, όπου $D$ η ορθή προβολή του $A$ στην $BC$ και $M$...

Τρεις διαδρομές.png Ο βαδιστής μεταβαίνει από το $A$ στο $C$ , με σταθερή ταχύτητα , κατά τρεις τρόπους . Από κάτω

θα του πάρει $17h$ , από πάνω $14.5h$ και κατ' ευθείαν $13h$ . Φυσικά , το σχήμα είναι ορθογώνιο

τραπέζιο . Υπολογίστε την την...

Πόσα ακέραια ζεύγοι αριθμών $x>y$ υπάρχουν ώστε $16/x^{2}+y^{2}$ και $x^{2}+y^{2}< 500$;

x139.png Στην πλευρά $BC$ τριγώνου $ABC\,({60^ \circ }{,100^ \circ }{,20^ \circ })$ παίρνουμε σημείο $D$, τέτοιο ώστε $DC = AB$. Δείξτε ότι $x = A\widehat DB = {30^ \circ }$.

Γεια σας! Έχω να βρω όλες τις πρωταρχικές λύσεις της διοφαντικής εξίσωσης $\displaystyle{ x^2+3y^2=z^2 }$.

Εγώ ξεκίνησα ως εξής:

Οι τετριμμένες λύσεις $\displaystyle{ (x, y, z) }$ είναι οι $\displaystyle{ (x, 0, x), (-x, 0, x), (x, 0, -x), (-x, 0,...

Αυστηρά υπολογιστική.png Οι κύκλοι $(O,3m)$ και $(K,4m)$ των οποίων τα κέντρα απέχουν $5m$ , τέμνονται στα σημεία $A ,B $ .

Θεωρώ σημείο $N$ της $AB$ , ώστε : $AN=\dfrac{AB}{3}$ και φέρω από το $N$ κάθετες προς τα $ON,KN$ ,

των οποίων οι τομές με...

Καλησπέρα στο :santalogo: !!
Οι 30άρες δίνουν λόγο.PNG
Το τρίγωνο $ABC$ του σχήματος έχει $\widehat{B}=\widehat{C}=30^{0}$

Θεωρούμε το σημείο $H \in BC$ και τα $M \in AB ..N \in AC$ ώστε $HM \perp AB $ και $HN \perp AC$. Αν είναι $BC=4MN$ τότε...

Α. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης $\large f(x)=ln\left ( x+\sqrt{x^2+4} \right )$ .
Β. Να υπολογισθούν τα ορισμένα ολοκληρώματα :
α) $\large I_{1}=\int_{0}^{1}\left ( \frac{1}{\sqrt{x^2+4}} \right )dx$
β) \large $\large...

1.png

Στο τρίγωνο $ABC$ του παραπάνω σχήματος ισχύει ότι: $BD=AC$.

Βρείτε τις μοίρες της γωνίας $\theta$ .

Σταθερό παρά τη μεταβλητότητα.png Στο ορθογώνιο τρίγωνο $OAB$ , η υποτείνουσα $AB$ έχει σταθερό μήκος , αντίθετα με τις δύο κάθετες

πλευρές $OA,OB$ , των οποίων τα μήκη μεταβάλλονται . Επί της υποτείνουσας θεωρώ τα σημεία $S,T$ ,

έτσι ώστε τα...

Γεια σας! Έχω κολλήσει σε μία φαινομενικά εύκολη άσκηση.
Θέλει να δείξουμε ότι τα γινόμενα
$4F_{2n}F_{2n+1}F_{2n+2}F_{2n+3} + 1$
$4F_{2n+1}F_{2n+2}F_{2n+3}F_{2n+4} + 1$
είναι τέλεια τετράγωνα.

Δοκίμασα να πειράξω τις σχέσεις και να χρησιμοποιήσω...

Παραλληλόγραμμο εντός παραλληλογράμμου.png Τα $ABCD ,AEZH$ είναι ( ανόμοια ) παραλληλόγραμμα . Οι $DE,BH$

τέμνονται στο σημείο $S$ . α) Δείξτε ότι τα σημεία $S,Z,C$ είναι συνευθειακά .

β) Χρησιμοποιήστε τα μήκη του σχήματος για να βρείτε το λόγο...

Τμήμα υποτείνουσας.png Στο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι ακόμη γνωστό ότι : $AS^2+AT^2=65$ . Υπολογίστε το $x(=ST)$ .

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$ και το ορθόκεντρο $H$. Αν η $AH$ τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου στο $D$ και $N$ είναι η προβολή του $H$ στην διάμεσο $AM$, να προσδιοριστεί σημείο $E$ πάνω στην $BC$ ώστε $A,N,E,D$ ομοκυκλικά. Για μαθητές...

1.png

Στο παραπάνω σχήμα το $O$ είναι κέντρο του κύκλου και τα $A, C$ σημεία επαφής.

Υπολογίστε το μήκος του τμήματος $x=ED$.

Οπωσδήποτε μέσο.png Από το σημείο $S(0,3)$ να αχθεί ευθεία , η οποία να τέμνει τις γνωστές έγχρωμες

σε δύο σημεία , έτσι ώστε τα δύο δημιουργούμενα τμήματα να είναι ίσα .

Έστω $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής και τέτοια ώστε $xf(x) = e^x -1$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$. Να υπολογιστεί το όριο:

$\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} n f^{(n)}(x)}$

Αν η συνάρτηση $f$ είναι κυρτή στο $R$ και η συνάρτηση $g $ είναι κοίλη στο $R$, να δείξετε ότι οι γραφικές τους παραστάσεις έχουν το πολύ δύο κοινά σημεία. Θεωρείτε επαρκή την εκφώνηση;

Πολυλογάς.png Υπολογίστε τους λόγους : $\dfrac{AS}{SM}$ και $\dfrac{PS}{ST}$

Να βρεθούν όλες οι $f: \mathbb{Z^{+}} \rightarrow \mathbb{Z^{+}}$ ώστε για κάθε ζεύγος θετικών ακεραίων να ισχύει ότι $xf(x)+y|f(x)^2+f(y)$. Για μαθητές μέχρι την Τετάρτη.