Πεπερασμένο Πλήθος Πρώτων

[JimNt.]

Δίνεται μονικό πολυώνυμο δευτέρου βαθμού με ακέραιους συντελεστές. Να αποδειχτεί (ή να απορριφθεί) ότι αν η τότε το πλήθος των πρώτων για τους οποίους ισχύει ότι το είναι τετραγωνικό υπόλοιπο για κάθε (το θεωρείται τετραγωνικό υπόλοιπο , εδώ τουλάχιστον), είναι πεπερασμένο. (ελπίζω να μην υπάρχει κάπου ως πρόβλημα)

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Μπορεί να κάνω λάθος:

Θα δείξουμε ότι για να έχει ένας πρώτος τη ζητούμενη ιδιότητα, πρέπει . Αυτό οδηγεί άμεσα στο ζητούμενο.

Όλα τα παρακάτω τα θεωρώ .

Θεωρούμε έναν πρώτο και πρέπει το να είναι τετραγωνικό κατάλοιπο, οπότε αρκεί το να είναι τετραγωνικό κατάλοιπο, δηλαδή αρκεί το να είναι τετραγωνικό κατάλοιπο. Έστω πως το δεν είναι . Παρατηρούμε πως αφού το λαμβάνει όλα τα δυνατά υπόλοιπα , θα λαμβάνει όλα τα δυνατά υπόλοιπα και το . Οπότε μπορούμε να θέσουμε , με .

Θέλουμε να δείξουμε πως δεν γίνεται το να είναι τετραγωνικό κατάλοιπο για κάθε . Πρακτικά αφού το παίρνει τις τιμές όλων των τετραγωνικών καταλοίπων, αρκεί να δείξουμε το εξής:

Έστω το σύνολο των τετραγωνικών καταλοίπων. Αν τότε δεν γίνεται για κάθε στοιχείο του το να ανήκει επίσης στο .

Πράγματι, αν γινόταν κάτι τέτοιο, τότε αρχίζοντας από ένα οποιοδήποτε στοιχείο , τότε προχωρώντας με βήμα φτιάχνουμε έναν κύκλο που πρέπει να καταλήγει ξανά στο . Πρέπει δηλαδή κάποτε να είναι , άρα , δηλαδή . Άρα έχουμε διατρέξει διαφορετικά στοιχεία, άτοπο, γιατί τα δυνατά τετραγωνικά κατάλοιπα είναι .