mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Μαρ 20, 2020 1:12 pm**

: Αξιόλογη παραλληλία.png (13 KiB) Προβλήθηκε 1192 φορές

είναι τυχαίο σημείο της πλευράς

τριγώνου

και

είναι τα περίκεντρα των τριγώνων

ABC, ABD, ACD

αντίστοιχα. Αν

είναι το ορθόκεντρο του DKL,

να δείξετε ότι PO||BC.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Μαρ 20, 2020 2:21 pm**

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 20, 2020 1:12 pm
Αξιόλογη παραλληλία.png
είναι τυχαίο σημείο της πλευράς τριγώνου και είναι τα περίκεντρα των τριγώνων

αντίστοιχα. Αν είναι το ορθόκεντρο του να δείξετε ότι

Καλό μεσημέρι!

: 286.PNG (50.99 KiB) Προβλήθηκε 1175 φορές

Τα

ανήκουν στην μεσοκάθετο του

άρα $KL\perp AD$ ,δηλαδή $P\in AD$ .
Είναι $\angle KLP=\angle KDP=\angle KAD=90^{\circ}-\angle B$ άρα A,K,P,L

ομοκυκλικά και $\angle DKL=\angle B$ ,ομοίως $\angle KLD=\angle C$ και έτσι $\angle KDL=\angle A$ .
Τα K,L

ανήκουν στις μεσοκαθέτους των AB,AC

αντίστοιχα άρα αν $N\equiv OK\cap AB,T\equiv OL\cap AC$ θα είναι $\angle ONA=\angle OTA=90^{\circ}$ από το οποίο το ANOT

είναι εγγράψιμο και έτσι $\angle NOT=180^{\circ}-\angle A$ .Επιπλέον είναι απλό ότι $\Delta AKL=\Delta KLD$ και έτσι $\angle KAL=180^{\circ}-\angle KDL=180^{\circ}-\angle A=180^{\circ}-\angle NOT=180^{\circ}-\angle KOL$ δηλαδή $O\in \left ( A,K,P,L \right )$ .Έστω $E\equiv AO\cap BC$ .
Είναι $\angle AOP=\angle ALP=\angle ALK+\angle KLP=\angle C+90^{\circ}-\angle B=\angle AEB$ και το ζητούμενο έπεται.

mathematica.gr

Αξιόλογη παραλληλία

Αξιόλογη παραλληλία

Re: Αξιόλογη παραλληλία