mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιαν 08, 2017 10:31 am**

Αν για τους ακέραιους a,b,c,d

ισχύει

, να δείξετε ότι $\frac{a+b+c+d}{3}\in \mathbff{Z}$ .

Juniors- Θ.Αριθμών

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιαν 08, 2017 11:05 am**

Έχουμε:

$a^3+b^3=2c^3-16d^3\Rightarrow a^3+b^3+16d^3 \equiv 2c^3 \mod 3$ $\Rightarrow a^3+b^3+d^3 \equiv 2c^3 \mod 3 \Rightarrow$ $a^3+b^3+d^3 \equiv -c^3 \mod 3\Rightarrow 3|a^3+b^3+d^3+c^3$ (1)

Ακόμη από το μικρό θεώρημα του Fermat

(βγαίνει και πιο απλά) προκύπτει ότι $a^3 \equiv a \mod 3$ (2)

Από τις σχέσεις (1) και (2) συμπεραίνουμε ότι 3|a+b+c+d

, συνεπώς $\dfrac{a+b+c+d}{3}$ ακέραιος

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιαν 08, 2017 11:09 am**

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:Έχουμε:

$a^3+b^3=2c^3-16d^3\Rightarrow a^3+b^3+16d^3 \equiv 2c^3 \mod 3$ $\Rightarrow a^3+b^3+d^3 \equiv 2c^3 \mod 3 \Rightarrow$ $a^3+b^3+d^3 \equiv -c^3 \mod 3\Rightarrow 3|a^3+b^3+d^3+c^3$ (1)

Ακόμη από το μικρό θεώρημα του (βγαίνει και πιο απλά) προκύπτει ότι $a^3 \equiv a \mod 3$ (2)

Από τις σχέσεις (1) και (2) συμπεραίνουμε ότι , συνεπώς $\dfrac{a+b+c+d}{3}$ ακέραιος

Ωραία λύση!

mathematica.gr

Από Βιετνάμ!

Από Βιετνάμ!

Re: Από Βιετνάμ!

Re: Από Βιετνάμ!