mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Νοέμ 04, 2016 9:34 am**

: Ισεμβαδικό τρίγωνο.png (20.39 KiB) Προβλήθηκε 1929 φορές

Ευθεία $\varepsilon$ είναι κάθετη στη διάμετρο

ενός κύκλου και πάνω σ΄αυτή

και στο εσωτερικό του κύκλου , βρίσκεται σημείο

. Η

τέμνει τον

κύκλο στο σημείο

. Εντοπίστε σημείο

της $\varepsilon$ , τέτοιο ώστε ,

αν η

τμήσει τον κύκλο στο

, να είναι (APQ)=(ASBT)

.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Νοέμ 04, 2016 10:56 pm**

KARKAR έγραψε:Ισεμβαδικό τρίγωνο.pngΕυθεία $\varepsilon$ είναι κάθετη στη διάμετρο ενός κύκλου και πάνω σ΄αυτή

και στο εσωτερικό του κύκλου , βρίσκεται σημείο . Η τέμνει τον

κύκλο στο σημείο . Εντοπίστε σημείο της $\varepsilon$ , τέτοιο ώστε ,

αν η τμήσει τον κύκλο στο , να είναι .

Άλλο ένα "ξόμπλι" απο τον Θανάση.

Άσκηση, σχετικά απλή, με τα χαρακτηριστικά κλασικής Ευκλείδειας κατασκευής .

Φιλικά Νίκος

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Νοέμ 06, 2016 9:19 am**

KARKAR έγραψε:Ισεμβαδικό τρίγωνο.pngΕυθεία $\varepsilon$ είναι κάθετη στη διάμετρο ενός κύκλου και πάνω σ΄αυτή

και στο εσωτερικό του κύκλου , βρίσκεται σημείο . Η τέμνει τον

κύκλο στο σημείο . Εντοπίστε σημείο της $\varepsilon$ , τέτοιο ώστε ,

αν η τμήσει τον κύκλο στο , να είναι .

Καλημέρα από Πλατανιά Χανίων.

(Ελαφρώς χρονικά παράνομος !!)

Έστω

η κάθετη χορδή στη

στο σημείο

και

.

Φέρνουμε την εφαπτομένη ευθεία

του κύκλου στο

και το ύψος AK = h

του τριγώνου $\vartriangle APQ$ .

Επειδή

1. $\widehat \theta = \widehat \omega \,\,$ ( εντός εναλλάξ των παραλλήλων $g\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ST$ , όταν τις τέμνει η

2. $\widehat \theta = \widehat \phi \,\,$ , Από τη χορδή

και την εφαπτομένη ,

στο άκρο της

.

Θα είναι $\boxed{\widehat \omega \, = \widehat \phi \,}$ που μας εξασφαλίζει ότι το τετράπλευρο PSTQ

είναι εγγράψιμο

: Ισεμβαδικό τρίγωνο.png (78.51 KiB) Προβλήθηκε 1832 φορές

και συνεπώς $\vartriangle APQ \approx \vartriangle ATS$ . Έτσι τώρα και αφού $AB \bot ST$ , θα έχουμε

$(APQ) = \dfrac{{{h^2}}}{{{d^2}}}(AST) = \dfrac{{{h^2}}}{{{d^2}}} \cdot \dfrac{1}{2}ST \cdot d$ και άρα

$2(ASBT) = \dfrac{{{h^2}}}{d} \cdot ST \Leftrightarrow ST \cdot AB = \dfrac{{{h^2}}}{d} \cdot ST$ . Οπότε

$\boxed{{h^2} = 2Rd}$

Μετά απ αυτά έχουμε την πιο κάτω κατασκευή.

Γράφουμε τον κύκλο (A,AD)

. Φέρνουμε την εφαπτομένη από το

σ αυτό τον κύκλο που τέμνει τον αρχικό επί πλέον στο

.

Τέλος η

τέμνει τη χορδή

στο ζητούμενο σημείο

.

Φιλικά Νίκος

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Νοέμ 06, 2016 12:56 pm**

KARKAR έγραψε: $\varepsilon$ είναι κάθετη στη διάμετρο ενός κύκλου και πάνω σ΄αυτή και στο εσωτερικό του κύκλου , βρίσκεται σημείο . Η τέμνει τον κύκλο στο σημείο . Εντοπίστε σημείο της $\varepsilon$ , τέτοιο ώστε , αν η τμήσει τον κύκλο στο , να είναι .

: Ισοδύνμαο τρίγωνο.png (38.17 KiB) Προβλήθηκε 1812 φορές

Ας είναι το σημείο τομής της στο καθέτου στην με το ημικύκλιο διαμέτρου . Το ζητούμενο σημείο είναι το $T\equiv \left( \varepsilon \right)\cap AQ,Q\equiv PK\cap \left( O \right),Q\ne P$ .

Πράγματι $\angle ATS\mathop = \limits^{\left\{ {F,Q} \right\} = \left( \varepsilon \right) \cap \left( O \right)} \dfrac{{\tau o\xi .AF + \tau o\xi .DQ}}{2}\mathop = \limits^{\tau o\xi .AF = \tau o\xi .AD\,\,\left( {FD \bot AOB} \right)}$ $\dfrac{{\tau o\xi .AD + \tau o\xi .DQ}}{2} = \angle APQ = \angle AKS \Rightarrow A,S,K,T$

ομοκυκλικά οπότε $\angle ATK = \angle ASK = {90^0}$ . Τότε σύμφωνα με την πρόταση [/color][color=#000000][b][i]Εμβαδό τρι ... b][/color]

προκύπτει ότι $\left( {APQ} \right) = R \cdot ST = \dfrac{1}{2}\left( {2R} \right) \cdot ST = \dfrac{1}{2}AB \cdot ST\mathop = \limits^{ST \bot AB} \left( {ASBT} \right)$ και ο εντοπισμός του με τις προϋποθέσεις του προβλήματος έχει επιτευχθεί.

Στάθης

mathematica.gr

Ισεμβαδικό τρίγωνο

Ισεμβαδικό τρίγωνο

Re: Ισεμβαδικό τρίγωνο

Re: Ισεμβαδικό τρίγωνο

Re: Ισεμβαδικό τρίγωνο