mathematica.gr

Δίνεται τετράπλευρο . Να αποδείξετε ότι αν το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα δύο απέναντι πλευρών διέρχεται από το σημείο τομής των διαγωνίων του, τότε το είναι τραπέζιο.


Υ.Γ. Φραγή στον STOPJOHN (ξέρει αυτός γιατί...)

Υποθέτουμε αρχικά ότι η δεν είναι παράλληλη στην .

Φέρνουμε από το σημείο παράλληλη στην η οποία θα τέμνει τις διαγωνίους και (ή τις προεκτάσεις τους) στα σημεία και αντίστοιχα.

Οι , και αποτελούν δέσμη ευθειών που διέρχονται από το . Άρα θα ισχύει:



Τα τρίγωνα και θα είναι ίσα γιατί θα έχουν δύο αντίστοιχες πλευρές ίσες και την περιεχόμενη γωνία τους ίση (είναι κατακορυφήν). Άρα θα ισχύει: . Όμως από το τρίγωνο έχουμε και επομένως .

Καταλήξαμε λοιπόν σε άτοπο. Άρα η είναι παράλληλη στην , οπότε το είναι τραπέζιο (αν επιπλέον τότε πρόκειται για παραλληλόγραμμο).

Ορέστης Λιγνός έγραψε:Δίνεται τετράπλευρο . Να αποδείξετε ότι αν το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα δύο απέναντι πλευρών διέρχεται από το σημείο τομής των διαγωνίων του, τότε το είναι τραπέζιο.

Στο παραπάνω σχήμα, το τετράπλευρο πληροί τις υποθέσεις της άσκησης χωρίς όμως να είναι τραπέζιο.

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε: Καταλήξαμε λοιπόν σε άτοπο. Άρα η είναι παράλληλη στην , οπότε το είναι τραπέζιο (αν επιπλέον τότε πρόκειται για παραλληλόγραμμο).

Πολύ σωστά λοιπόν ο Διονύσης στην ανάρτησή του κάνει τη διόρθωση. Υπενθυμίζω ή μάλλον αντιγράφω από το σχολικό βιβλίο της Β' Λυκείου: Τραπέζιο λέγεται το κυρτό τετράπλευρο που έχει μόνο δύο πλευρές παράλληλες

Ορέστης Λιγνός έγραψε:Δίνεται τετράπλευρο . Να αποδείξετε ότι αν το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα δύο απέναντι πλευρών διέρχεται από το σημείο τομής των διαγωνίων του, τότε το είναι τραπέζιο.
trapezio.png
Υ.Γ. Φραγή στον STOPJOHN (ξέρει αυτός γιατί...)

Έστω και το μέσο της . Από το πλήρες τετράπλευρο προκύπτει ότι τα σημεία είναι συνευθειακά (ευθεία Gauss) και με συνευθειακά θα είναι συνευθειακά. Από το ίδιο πλήρες τετράπλευρο προκύπτει ότι η σειρά είναι αρμονική (κάθε διαγώνιος τετραπλεύρου διαιρείται αρμονικά από τις άλλες δύο) οπότε και η δέσμη είναι αρμονική και με το μέσο της και το ζητούμενο (ότι το είναι «τραπέζιο» (πιθανόν και παραλληλόγραμμο) έχει αποδειχθεί.

Στάθης