mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 11, 2017 10:43 am**

: Πονηρή διχοτόμος.png (13.98 KiB) Προβλήθηκε 718 φορές

Σε σημείο

της ακτίνας

, ημικυκλίου διαμέτρου AOB

και μέσου

, σχεδιάζω

το κάθετο τμήμα

. Η εφαπτομένη του τόξου στο

, τέμνει την προέκταση της

στο

. Πως πρέπει να επιλεγεί το

, ώστε η

να διχοτομεί τη γωνία $\widehat{ONS}$ ;

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 11, 2017 11:19 am**

KARKAR έγραψε:Πονηρή διχοτόμος.pngΣε σημείο της ακτίνας , ημικυκλίου διαμέτρου και μέσου , σχεδιάζω

το κάθετο τμήμα . Η εφαπτομένη του τόξου στο , τέμνει την προέκταση της

στο . Πως πρέπει να επιλεγεί το , ώστε η να διχοτομεί τη γωνία $\widehat{ONS}$ ;

Καλημέρα!

: Διχοτόμος-αλεπού 2.png (17.44 KiB) Προβλήθηκε 700 φορές

Ο κύκλος

τέμνει το ημικύκλιο στο

και η

την προέκταση της διαμέτρου στο

Η διχοτόμος της $O\widehat NS$ τέμνει τη διάμετρο στο ζητούμενο σημείο

Απόδειξη: Φέρνω την

κάθετη στη διάμετρο. Αρκεί να δείξω ότι η

εφάπτεται στο ημικύκλιο. Το τρίγωνο ONE

είναι από κατασκευής ισόπλευρο, οπότε στο ορθογώνιο τρίγωνο ONS

οι οξείες γωνίες είναι 60^0, 30^0.

Άρα $NS=2R, OS=R\sqrt 3$ και $\displaystyle{OP = \frac{{R\sqrt 3 }}{3}}$ . Είναι ακόμα, $\displaystyle{T{P^2} = AP \cdot PB = \left( {R + \frac{{R\sqrt 3 }}{3}} \right)\left( {R - \frac{{R\sqrt 3 }}{3}} \right) = \frac{{2{R^2}}}{3}}$ και με Π. Θ στο TPS

βρίσκω $\boxed{ST^2=2R^2}$ Αλλά, $\displaystyle{SB \cdot SA = (R\sqrt 3 - R)(R\sqrt 3 + R) = 2{R^2} = S{T^2}}$ και το ζητούμενο αποδείχτηκε.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 11, 2017 11:56 am**

Πολύ ωραία λύση Γιώργο !. Θα ψάξω αλλά πιο απλή κατασκευή δεν νομίζω να υπάρχει.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 11, 2017 12:21 pm**

Κάνοντας μια άλλη κατασκευή με πολικές μου προέκυψε το παρακάτω.

: Πονηρή διχοτόμος_2_KARKAR.png (24.16 KiB) Προβλήθηκε 679 φορές

: Πονηρή διχοτόμος_2_KARKAR_ κατασκευή.png (28.91 KiB) Προβλήθηκε 679 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 11, 2017 1:40 pm**

: Πονηρή διχοτόμος.png (13.98 KiB) Προβλήθηκε 662 φορές

Δεν μπορεί κανείς να μη θαυμάσει την ευρηματικότητα των παραπάνω κατασκευών .

Ωστόσο , επειδή απουσιάζει η "ανάλυση" , θα ρωτούσε εύλογα κανείς :

" και πως το σκέφτηκες αυτό ρε φίλε ; " . Εδώ η συντομία μάλλον βλάπτει

Μια υπολογιστική λύση : Είναι : $\dfrac{x}{d-x}=\dfrac{r}{\sqrt{r^2+d^2}}$ και : r^2=xd

Η σχετικά απλή λύση του συστήματος , δίνει : $x=\dfrac{r}{\sqrt{3}} , d=r\sqrt{3}$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 11, 2017 7:29 pm**

KARKAR έγραψε:Πονηρή διχοτόμος.png Δεν μπορεί κανείς να μη θαυμάσει την ευρηματικότητα των παραπάνω κατασκευών .

Ωστόσο , επειδή απουσιάζει η "ανάλυση" , θα ρωτούσε εύλογα κανείς :

" και πως το σκέφτηκες αυτό ρε φίλε ; "

Είναι γνωστό-τουλάχιστον μεταξύ μας- ότι οι κατασκευές δεν γίνονται με την επιφοίτηση του Αγίου Πνεύματος. Να ξεκαθαρίσουμε λοιπόν στους μαθητές που μας διαβάζουν, ότι δεν υπάρχει καμία Θεία Έμπνευση. Σαφώς και προηγείται η Ανάλυση και στη συνέχεια προσαρμόζεται η κατασκευή με το ελάχιστο δυνατό κόστος (λιγότερες κινήσεις). Στη συγκεκριμένη άσκηση έγιναν οι υπολογισμοί, βρέθηκε ότι $OS=R\sqrt 3,$ άρα $O\widehat NS=60^0$ και γράφτηκε η κατασκευή σε μια σειρά, έτσι για λόγους εντυπωσιασμού!

mathematica.gr

Πονηρή διχοτόμος 2

Πονηρή διχοτόμος 2

Re: Πονηρή διχοτόμος 2

Re: Πονηρή διχοτόμος 2

Re: Πονηρή διχοτόμος 2

Re: Πονηρή διχοτόμος 2

Re: Πονηρή διχοτόμος 2