mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Οκτ 29, 2017 8:07 am**

: Δύσκολη ισότητα γωνιών.png (16.52 KiB) Προβλήθηκε 1391 φορές

Η διάμεσος

του ορθογωνίου τριγώνου $\displaystyle ABC$ τέμνει το ημικύκλιο διαμέτρου

στο σημείο

. Η

τέμνει τη

στο

, ενώ η

τέμνει την

στο

.

Δείξτε ότι : $\widehat{AQS}=\widehat{CPS}$ ... ( Θαλής Α' Λυκείου )

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Οκτ 29, 2017 9:12 am**

Με Αναλυτική είναι πολύ εύκολη. Δεν χρειάζεται καθόλου σκέψη.

Θέλουμε να δείξουμε ότι το CQSP

είναι εγγράψιμμο, ισοδύναμα να δείξουμε ότι οι γωνίες

και

είναι
παραπληρωματικές. Ας τις βρούμε.

Με αρχή των αξόνων το

είναι

. Άρα το ημικύκλιο είναι το x^2+(y-c)^2=c^2

και η

είναι η $y=-\frac {2c}{b}(x-b)$ . Λύνοντας το σύστημα θα βρούμε το

. Από όπου αμέσως τις κλίσεις των SA, SB

και άρα την γωνία ASB

. Ξέρουμε και την

(είναι $\tan A = b/c$ ), και λοιπά. Αφήνω τις πράξεις ρουτίνας.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Οκτ 29, 2017 9:49 am**

Μιχάλη καλημέρα !

Πολλά θέματα της ευκλείδειας Γεωμετρίας λύνονται ( όχι πάντα ευκολότερα ! )

και με Καρτεσιανή Γεωμετρία . Κανείς φυσικά δεν μπορεί να επιβάλει στον μαθητή -

λύτη τη μέθοδο επίλυσης , πάντως μια κομψή ευκλείδεια λύση είναι ελκυστικότερη

από μια μακροσκελή με αναλυτική , κυρίως διότι έτσι φαίνεται η κατανόηση των

σχέσεων που συνδέουν τα διάφορα στοιχεία του σχήματος ...

Ας μου επιτραπεί και μια παρατήρηση : Νομίζω ότι δεν είναι ευχάριστο στον

αναγνώστη να διαβάζει τη μισή λύση και μετά αυτό το ... "και λοιπά"

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Οκτ 29, 2017 10:00 am**

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 29, 2017 8:07 am
Δύσκολη ισότητα γωνιών.pngΗ διάμεσος του ορθογωνίου τριγώνου $\displaystyle ABC$ τέμνει το ημικύκλιο διαμέτρου

στο σημείο . Η τέμνει τη στο , ενώ η τέμνει την στο .

Δείξτε ότι : $\widehat{AQS}=\widehat{CPS}$ ... ( Θαλής Α' Λυκείου )

Μία εντός φακέλου, αλλά όχι Α' Λυκείου.

: Δύσκολη ισότητα γωνιών...png (15.6 KiB) Προβλήθηκε 1363 φορές

Από

$\displaystyle \frac{{CP}}{{PB}} \cdot \frac{{MB}}{{MA}} \cdot \frac{{QA}}{{QC}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{CP}}{{PB}} = \frac{{QC}}{{QA}} \Leftrightarrow QP||AB$ άρα $\displaystyle PQ \bot AC$ κι επειδή $\displaystyle PS \bot CS$

( η $\widehat S$ είναι εγγεγραμμένη σε ημικύκλιο), το QCPS

είναι εγγράψιμο και $\boxed{\varphi=\theta}$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Οκτ 29, 2017 10:22 am**

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 29, 2017 9:49 am
πάντως μια κομψή ευκλείδεια λύση είναι ελκυστικότερη

από μια μακροσκελή με αναλυτική , κυρίως διότι έτσι φαίνεται η κατανόηση των

σχέσεων που συνδέουν τα διάφορα στοιχεία του σχήματος ...

Θανάση, ορθότατο. Όμως ο λόγος που βάζω τις λύσεις με Αναλυτική είναι για διδακτικούς
σκοπούς. Θέλω να καταδείξω την αξία της Αναλυτικής Γεωμετρίας, όπως την προβάλει
ο Descartes. Πρόκειται για ολόκληρο σκεπτικό στον πρόλογο της περίφημης Γεωμετρίας του
(δεν υπάρχει λόγος να τον επαναλάβω) που καταλήγει στο ότι πολλά
δύσκολα προβλήματα της Συνθετικής Γεωμετρίας μπορούν να αντιμετωπιστούν
πολύ ευκολότερα με Αναλυτική. Ο ίδιος μάλιστα λύνει με
Αναλυτική ένα πρόβλημα στην Συναγωγή του Πάππου το οποίο δεν κατάφερε ο μέγας Πάππος ούτε οι μεταγενέστεροι μαθηματικοί να το επιλύσουν.

Το να αφαιρέσουμε αυτή την δυνατότητα, όπως έμμεσα ζητάς, δεν ακούγεται εποικοδομητικό.

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 29, 2017 9:49 am

Ας μου επιτραπεί και μια παρατήρηση : Νομίζω ότι δεν είναι ευχάριστο στον

αναγνώστη να διαβάζει τη μισή λύση και μετά αυτό το ... "και λοιπά"

Εδώ θα διαφωνήσω. Τα Μαθηματικά θέλουν χαρτί και μολύβι. Είναι πάρα πολύ σημαντικό
να μπορεί ο αναγνώστης να δει ξεχωρισμένο το ουσιώδες από το επουσιώδες μιας
λύσης. Συχνά δεν γράφω τις πράξεις ρουτίνας σε μία λύση αν και τις έχω κάνει, για λόγους αρχής. Αυτό είναι που
θέλω να προβάλλω ως Δάσκαλος.

Το να επιθυμείς και τις πράξεις σε μία λύση είναι σεβαστή επιλογή και, ομολογώ, μία πρακτική που την ακολουθούν οι περισσότεροι Δάσκαλοι, ακόμα και φωτισμένοι (καλή ώρα όπως εσύ που η συνεισφορά σου
στο φόρουμ είναι ιδιαίτερα σημαντική). Άσε όμως και εμένα να κάνω το διδακτικό μου
καθήκον όπως το κρίνω πιο πρόσφορο. Και το κάνω αενάως. Εάν ήξερες και πόσες είναι οι
προσκλήσεις που έχω ως ομιλητής για σεμινάρια και συνέδρια θα με δικαιολογούσες (ακούς μόνο μικρό κλάσμα). Π.χ. τους επόμενους 3 μήνες θα βγω εκτός έδρας, Κρήτης, 8 φορές (Νάουσα, Βόλος, Αθήνα, Θεσσαλονίκη, Λαχόρη του Πακιστάν και πολλά ακόμη). Με προσκαλούν γιατί, μη τι άλλο, εγκρίνουν τον Δάσκαλο μέσα μου. Πρόπερσι βγήκα 22 φορές εκτός έδρας για σεμινάρια μίας έως έξι ημερών, συχνότατα ως ο μόνος ομιλητής. Οπότε λίγες πράξεις που αφήνω εκτός λύσης, δεν είναι και τόσο αμαρτωλό.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Οκτ 29, 2017 11:43 am**

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 29, 2017 8:07 am
Δύσκολη ισότητα γωνιών.pngΗ διάμεσος του ορθογωνίου τριγώνου $\displaystyle ABC$ τέμνει το ημικύκλιο διαμέτρου

στο σημείο . Η τέμνει τη στο , ενώ η τέμνει την στο .

Δείξτε ότι : $\widehat{AQS}=\widehat{CPS}$ ... ( Θαλής Α' Λυκείου )

Με ύλη Α' τάξης

Είναι, $\displaystyle AD \bot BC$ ,άρα $\displaystyle \angle DSC = \angle DAC = \angle B \Rightarrow DSMB$ εγγράψιμο ,επομένως οι γωνίες $\displaystyle y$ είναι ίσες

Αν $\displaystyle N$ μέσον της $\displaystyle AC$ $\displaystyle \Rightarrow \angle AND + \angle DMA = 2\angle (B + C) = {180^0} \Rightarrow NDMA$ εγγράψιμο

$\displaystyle \Rightarrow DM \bot DN \Rightarrow DM$ εφαπτόμενη του ημικυκλίου άρα $\displaystyle x = y$

Τώρα οι $\displaystyle \theta ,\phi$ είναι ίσες ως συμπληρώματα των $\displaystyle x,y$

: i.g.png (19.15 KiB) Προβλήθηκε 1328 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Οκτ 29, 2017 2:52 pm**

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 29, 2017 8:07 am
Η διάμεσος του ορθογωνίου τριγώνου $\displaystyle ABC$ τέμνει το ημικύκλιο διαμέτρου

στο σημείο . Η τέμνει τη στο , ενώ η τέμνει την στο .

Δείξτε ότι : $\widehat{AQS}=\widehat{CPS}$ ... ( Θαλής Α' Λυκείου )

Θανάση, μάλλον θες να πεις Θαλή Β’ Λυκείου, μια που διαγωνίζονται με την περσινή ύλη!

: Δύσκολη-ισότητα-γωνιών.png (32.6 KiB) Προβλήθηκε 1296 φορές

Προεκτείνω την

κατά ίσο τμήμα

και κατά συνέπεια:

Το SBDA

είναι παραλληλόγραμμο, το CBDA

είναι εγγράψιμο, οι πράσινες γωνίες είναι ίσες, άρα και οι κόκκινες σαν συμπληρωματικές τους.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Οκτ 29, 2017 5:52 pm**

: λύση.png (11.19 KiB) Προβλήθηκε 1274 φορές

Υπάρχει πληθώρα ενστάσεων για το αν η άσκηση είναι για την Α' Λυκείου .
Δικαιολογημένες

. Πάντως η άσκηση κατασκευάστηκε με την υπόθεση ότι

οι διαγωνιζόμενοι γνωρίζουν τα περί ομοίων τριγώνων και επίσης το εξής λήμμα :

"Αν

σημείο της διαμέσου

του τριγώνου CAM

και οι

τέμνουν τις CB,CA

στα σημεία P,Q

, τότε : $QP\parallel AB$ " . Λοιπόν η ομοιότητα

των AMS,ACM

, δίνει : $MA^2=MS\cdot MC=MB^2\Leftrightarrow \dfrac{MB}{MS}=\dfrac{MC}{MB}$ ,

ενώ η τελευταία σχέση δίνει την ομοιότητα των SBM,BCM

, που εν τέλει

καθιστά ίσες τις τρεις μπλε γωνίες , δηλαδή το CQSP

εγγράψιμο .

Οι χρησιμοποιούντες προχωρημένη ύλη , θα "δουν" στα παραπάνω , μετρικές σχέσεις

στο ορθογώνιο και " χορδής εφαπτομένης με εγγεγραμμένη" ( $MB^2=MS\cdot MC$ ) ...

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Οκτ 29, 2017 6:33 pm**

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 29, 2017 2:52 pm

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 29, 2017 8:07 am
Η διάμεσος του ορθογωνίου τριγώνου $\displaystyle ABC$ τέμνει το ημικύκλιο διαμέτρου

στο σημείο . Η τέμνει τη στο , ενώ η τέμνει την στο .

Δείξτε ότι : $\widehat{AQS}=\widehat{CPS}$ ... ( Θαλής Α' Λυκείου )
Θανάση, μάλλον θες να πεις Θαλή Β’ Λυκείου, μια που διαγωνίζονται με την περσινή ύλη!Δύσκολη-ισότητα-γωνιών.png
Προεκτείνω την κατά ίσο τμήμα και κατά συνέπεια:

Το είναι παραλληλόγραμμο, το είναι εγγράψιμο, οι πράσινες γωνίες είναι ίσες, άρα και οι κόκκινες σαν συμπληρωματικές τους.

Απλό και ωραίο Μιχάλη!

mathematica.gr

Δύσκολη ισότητα γωνιών

Δύσκολη ισότητα γωνιών

Re: Δύσκολη ισότητα γωνιών

Re: Δύσκολη ισότητα γωνιών

Re: Δύσκολη ισότητα γωνιών

Re: Δύσκολη ισότητα γωνιών

Re: Δύσκολη ισότητα γωνιών

Re: Δύσκολη ισότητα γωνιών

Re: Δύσκολη ισότητα γωνιών

Re: Δύσκολη ισότητα γωνιών