mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Σεπ 29, 2018 8:37 pm**

: ουρανοκατέβατη διχοτόμηση.png (19.01 KiB) Προβλήθηκε 935 φορές

Σε ισοσκελές τρίγωνο ABC

θεωρούμε τυχαία σημεία $D\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E$ των ίσων πλευρών $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC$ αντίστοιχα .

Οι $BE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CD$ τέμνονται στο

και οι $DE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AS$ τέμνονται στο

.

Αν οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων $ABC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ADE$ τέμνονται, ακόμα, στο

, δείξετε ότι η

είναι διχοτόμος του τριγώνου MDE

.

Η άσκηση αφιερώνεται στον εκ Φαρσάλων αγαπητό, Χημικό Μηχανικό, Θανάση Γκακόπουλο που του αρέσει πολύ η Ευκλείδεια Γεωμετρία.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Σεπ 30, 2018 12:36 am**

Doloros έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 29, 2018 8:37 pm
ουρανοκατέβατη διχοτόμηση.png

Σε ισοσκελές τρίγωνο θεωρούμε τυχαία σημεία $D\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E$ των ίσων πλευρών $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC$ αντίστοιχα .

Οι $BE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CD$ τέμνονται στο και οι $DE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AS$ τέμνονται στο .

Αν οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων $ABC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ADE$ τέμνονται, ακόμα, στο , δείξετε ότι η είναι διχοτόμος του τριγώνου .

Η άσκηση αφιερώνεται στον εκ Φαρσάλων αγαπητό, Χημικό Μηχανικό, Θανάση Γκακόπουλο που του αρέσει πολύ η Ευκλείδεια Γεωμετρία.

: Ουρανοκατέβατη διχοτόμηση.png (38.93 KiB) Προβλήθηκε 895 φορές

Έστω $K\equiv DE\cap BC$ . Τότε από το πλήρες τετράπλευρο προκύπτει ότι η σειρά $\left( K,D,T,E \right)$ είναι αρμονική (κάθε διαγώνιος πλήρους τετραπλεύρου διαιρείται αρμονικά από τις άλλες δύο) άρα και η δέσμη είναι αρμονική.
Προφανώς το είναι το σημείο Miquel του πλήρους τετραπλεύρου και συνεπώς και τα τετράπλευρα είναι εγγράψιμα σε κύκλους.

Έτσι $\angle XMK\mathop = \limits^{MKCE\,\,\varepsilon \gamma \gamma \rho \alpha \psi \iota \mu o} \angle ECB\mathop = \limits^{AB = AC}$ $\angle ABC\mathop = \limits^{MKBD\,\varepsilon \gamma \gamma \rho \alpha \psi \iota \mu o} \angle KMD \Rightarrow MK$ εξωτερική διχοτόμος του τριγώνου $\vartriangle MDE$ και με την δέσμη αρμονική προκύπτει ότι η εσωτερική διχοτόμος του εν λόγω τριγώνου και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

mathematica.gr

Ουρανοκατέβατη διχοτόμηση

Ουρανοκατέβατη διχοτόμηση

Re: Ουρανοκατέβατη διχοτόμηση