mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Φεβ 06, 2020 7:54 pm**

: Μεγάλες κατασκευές 33.png (12.74 KiB) Προβλήθηκε 629 φορές

Δίνεται το ορθογώνιο DMOH

, με

και

. Στην προέκταση της

θεωρήστε

σημείο

και στις προεκτάσεις των MD , DM

σημεία

αντίστοιχα , έτσι ώστε το μεν

να είναι

το ορθόκεντρο , το δε

το περίκεντρο , του τριγώνου $\displaystyle ABC$ . Είναι το τρίγωνο αυτό μοναδικό ;

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Φεβ 06, 2020 10:28 pm**

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 06, 2020 7:54 pm
Μεγάλες κατασκευές 33.pngΔίνεται το ορθογώνιο , με και . Στην προέκταση της θεωρήστε

σημείο και στις προεκτάσεις των σημεία αντίστοιχα , έτσι ώστε το μεν να είναι

το ορθόκεντρο , το δε το περίκεντρο , του τριγώνου $\displaystyle ABC$ . Είναι το τρίγωνο αυτό μοναδικό ;

: Μεγάλες κατασκευές 33.png (17 KiB) Προβλήθηκε 605 φορές

Αν

, το συμμετρικό του

ως προς το

ο κύκλος $\left( {O,OZ} \right)$ τέμνει τη

στα

και την ημιευθεία

στο

.

Έτσι όπως έγινε η κατασκευή έχω μοναδική λύση .

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Φεβ 07, 2020 9:28 am**

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 06, 2020 7:54 pm
Μεγάλες κατασκευές 33.pngΔίνεται το ορθογώνιο , με και . Στην προέκταση της θεωρήστε

σημείο και στις προεκτάσεις των σημεία αντίστοιχα , έτσι ώστε το μεν να είναι

το ορθόκεντρο , το δε το περίκεντρο , του τριγώνου $\displaystyle ABC$ . Είναι το τρίγωνο αυτό μοναδικό ;

Η ενδεδειγμένη κατασκευή είναι αυτή του Νίκου. Ας το δούμε όμως και λίγο υπολογιστικά.

: Μεγάλες κατασκευές.33.png (12.62 KiB) Προβλήθηκε 569 φορές

$\displaystyle DA' = HD = OM = \frac{{AH}}{2} \Rightarrow AD = 9,DA' = 3$

$\displaystyle BD \cdot DC = AD \cdot DA' \Leftrightarrow \left( {\frac{a}{2} - 2} \right)\left( {\frac{a}{2} + 2} \right) = 27 \Leftrightarrow a = 2\sqrt {31}$

Τα σημεία A, B, C

προσδιορίζονται λοιπόν ως εξής: $\displaystyle HA = 6,DB = \sqrt {31} - 2,DC = \sqrt {31} + 2$

Στη συνέχεια με Πυθαγόρειο βρίσκουμε $\displaystyle b = 2\sqrt {29 + \sqrt {31} } ,c = 2\sqrt {29 - \sqrt {31} }$ και επαληθεύεται η μοναδικότητα.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Φεβ 07, 2020 5:24 pm**

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 06, 2020 7:54 pm
Μεγάλες κατασκευές 33.pngΔίνεται το ορθογώνιο , με και . Στην προέκταση της θεωρήστε

σημείο και στις προεκτάσεις των σημεία αντίστοιχα , έτσι ώστε το μεν να είναι

το ορθόκεντρο , το δε το περίκεντρο , του τριγώνου $\displaystyle ABC$ . Είναι το τρίγωνο αυτό μοναδικό ;

Από το ορθογώνιο OMDH ,OM=DH=DL=MS=3,OH=DM=LS=2=SK

Από τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα

$AHM,OMI,\dfrac{AH}{OM}=\dfrac{HO}{MI}=\dfrac{AO}{OI} \Rightarrow R=2\sqrt{10}$

Οπότε κατασκευάζεται ο κύκλος (O,R)

και στη συνέχεια

προσδιορίζονται τα σημεία A,B,C

mathematica.gr

Μεγάλες κατασκευές 33

Μεγάλες κατασκευές 33

Re: Μεγάλες κατασκευές 33

Re: Μεγάλες κατασκευές 33

Re: Μεγάλες κατασκευές 33