mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιαν 01, 2021 10:53 am**

Δίνονται δύο σφαίρες $\displaystyle{(K,R)$ και Έστω δύο τυχόντα σημεία που ανήκουν στις σφαίρες και αντίστοιχα. Θεωρούμε εσωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος τέτοιο που $\displaystyle{\frac{MA}{MB} =\frac{m}{n},}$ όπου $\displaystyle{m,n}$ μέτρα δοθέντων ευθυγράμμων τμημάτων. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του σημείου

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιαν 01, 2021 11:56 am**

Έσβησα την λύση. Είχα διαβάσει λάθος την εκφώνηση.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιαν 02, 2021 10:24 am**

Καλημέρα.
Για να δικαιολογήσω τον τίτλο (ΕΚ ΤΟΥ R^2),απλά να αναφέρω, ότι σαν βάση του θέματος που ανάρτησα ήταν ένα θέμα που την δεκαετία του 1970 είχε μπει ως θέμα Γεωμετρίας για την εισαγωγή στην τριτοβάθμια εκπαίδευση (Τότε έδιναν εξετάσεις ξεχωριστά Στην άλγεβρα-ανάλυση, στην Γεωμετρία και στην Τριγωνομετρία, δηλαδή ήταν τρείς βαθμοί). Το θέμα αυτό, τότε ήταν:
Δίνονται στο επίπεδο δύο κύκλοι Έστω τυχόν ευθύγραμμο τμήμα με σημείο του κύκλου και σημείο του κύκλου Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του μέσου του

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιαν 02, 2021 12:32 pm**

S.E.Louridas έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 02, 2021 10:24 am
την δεκαετία του 1970 είχε μπει ως θέμα Γεωμετρίας για την εισαγωγή στην τριτοβάθμια εκπαίδευση (Τότε έδιναν εξετάσεις ξεχωριστά Στην άλγεβρα-ανάλυση, στην Γεωμετρία και στην Τριγωνομετρία, δηλαδή ήταν τρείς βαθμοί).

Σωτήρη, δυστυχώς πάνε αυτά. Ανεπιστρεπτί. Οριστικά και αμετάκλητα.

Και εννοώ ότι οι μαθητές μας και οι φοιτητές μας σήμερα, κατά κανόνα αλλά ευτυχώς με εξαιρέσεις, έχουν άγνοια γεωμετρικών (ή άλλων) αποδεικτικών συλλογισμών και απόλυτη δυστοκία στην εποπτεία του χώρου.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιαν 03, 2021 8:23 am**

S.E.Louridas έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 02, 2021 10:24 am
Καλημέρα.
Για να δικαιολογήσω τον τίτλο (ΕΚ ΤΟΥ R^2),απλά να αναφέρω, ότι σαν βάση του θέματος που ανάρτησα ήταν ένα θέμα που την δεκαετία του 1970 είχε μπει ως θέμα Γεωμετρίας για την εισαγωγή στην τριτοβάθμια εκπαίδευση (Τότε έδιναν εξετάσεις ξεχωριστά Στην άλγεβρα-ανάλυση, στην Γεωμετρία και στην Τριγωνομετρία, δηλαδή ήταν τρείς βαθμοί). Το θέμα αυτό, τότε ήταν:
Δίνονται στο επίπεδο δύο κύκλοι Έστω τυχόν ευθύγραμμο τμήμα με σημείο του κύκλου και σημείο του κύκλου Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του μέσου του

Η διαπραγμάτευση μου στο επίπεδο, όπου εκεί αντί για σφαίρες έχουμε κύκλους (K,R), (L,r),

είναι και με βάση το σχήμα που ακολουθεί η εξής:

$\displaystyle{\frac{k}{R} = \frac{n}{m} \Rightarrow k = \frac{n}{m}R \Rightarrow \frac{{\left| {nR - mr} \right|}}{m} \leqslant v \leqslant \frac{{nR + mr}}{m}\;\left( 1 \right). }$
Θεωρούμε σημείο

της

τέτοιο που $\displaystyle{\frac{{KQ}}{{QL}} = \frac{m}{n} \Rightarrow \frac{{MQ}}{v} = \frac{m}{{m + n}} \Rightarrow MQ = \frac{m}{{m + n}}v\;\left( 2 \right).}$ $\displaystyle{\left( 1 \right),\;\left( 2 \right) \Rightarrow \frac{{\left| {nR - mr} \right|}}{{m + n}} \leqslant MQ \leqslant \frac{{nR + mr}}{{m + n}}.}$
Επομένως το σημείο

θα ευρίσκεται εντός ή επί των συνόρων κυκλικού δακτυλίου μεταξύ των κύκλων $\displaystyle{e:\left( {Q,\frac{{\left| {nR - mr} \right|}}{{m + n}}} \right),\,\;h:\left( {Q,\frac{{nR + mr}}{{m + n}}} \right).}$
Το αντίστροφο πιστοποιεί ότι ο δακτύλιος αυτός είναι τελικά ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος.

: 21.png (82.13 KiB) Προβλήθηκε 1367 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιαν 03, 2021 1:50 pm**

S.E.Louridas έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 03, 2021 8:23 am

S.E.Louridas έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 02, 2021 10:24 am
Καλημέρα.
Για να δικαιολογήσω τον τίτλο (ΕΚ ΤΟΥ R^2),απλά να αναφέρω, ότι σαν βάση του θέματος που ανάρτησα ήταν ένα θέμα που την δεκαετία του 1970 είχε μπει ως θέμα Γεωμετρίας για την εισαγωγή στην τριτοβάθμια εκπαίδευση (Τότε έδιναν εξετάσεις ξεχωριστά Στην άλγεβρα-ανάλυση, στην Γεωμετρία και στην Τριγωνομετρία, δηλαδή ήταν τρείς βαθμοί). Το θέμα αυτό, τότε ήταν:
Δίνονται στο επίπεδο δύο κύκλοι Έστω τυχόν ευθύγραμμο τμήμα με σημείο του κύκλου και σημείο του κύκλου Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του μέσου του
Η διαπραγμάτευση μου στο επίπεδο, όπου εκεί αντί για σφαίρες έχουμε κύκλους είναι και με βάση το σχήμα που ακολουθεί η εξής:

$\displaystyle{\frac{k}{R} = \frac{n}{m} \Rightarrow k = \frac{n}{m}R \Rightarrow \frac{{\left| {nR - mr} \right|}}{m} \leqslant v \leqslant \frac{{nR + mr}}{m}\;\left( 1 \right). }$
Θεωρούμε σημείο της τέτοιο που $\displaystyle{\frac{{KQ}}{{QL}} = \frac{m}{n} \Rightarrow \frac{{MQ}}{v} = \frac{m}{{m + n}} \Rightarrow MQ = \frac{m}{{m + n}}v\;\left( 2 \right).}$ $\displaystyle{\left( 1 \right),\;\left( 2 \right) \Rightarrow \frac{{\left| {nR - mr} \right|}}{{m + n}} \leqslant MQ \leqslant \frac{{nR + mr}}{{m + n}}.}$
Επομένως το σημείο θα ευρίσκεται εντός ή επί των συνόρων κυκλικού δίσκου μεταξύ των κύκλων $\displaystyle{e:\left( {Q,\frac{{\left| {nR - mr} \right|}}{{m + n}}} \right),\,\;h:\left( {Q,\frac{{nR + mr}}{{m + n}}} \right).}$
Το αντίστροφο πιστοποιεί ότι ο δακτύλιος αυτός είναι τελικά ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος.21.png

Επανέρχομαι για να αναφέρουμε ότι η διαπραγμάτευση στην αρχική εκφώνηση είναι ταυτόσημη, απλά η απάντηση είναι:
Το σημείο

θα ευρίσκεται εντός ή επί των συνόρων του μέρους μεταξύ των σφαιρών $\displaystyle{\left( {Q,\frac{{\left| {nR - mr} \right|}}{{m + n}}} \right),\,\;\left( {Q,\frac{{nR + mr}}{{m + n}}} \right).}$
Το αντίστροφο πιστοποιεί ότι το μέρος αυτό είναι τελικά ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιαν 03, 2021 4:24 pm**

S.E.Louridas έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 01, 2021 10:53 am
Δίνονται δύο σφαίρες $\displaystyle{(K,R)$ και Έστω δύο τυχόντα σημεία που ανήκουν στις σφαίρες και αντίστοιχα. Θεωρούμε εσωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος τέτοιο που $\displaystyle{\frac{MA}{MB} =\frac{m}{n},}$ όπου $\displaystyle{m,n}$ μέτρα δοθέντων ευθυγράμμων τμημάτων. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του σημείου

S.E.Louridas έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 03, 2021 8:23 am

S.E.Louridas έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 02, 2021 10:24 am
Καλημέρα.
Για να δικαιολογήσω τον τίτλο (ΕΚ ΤΟΥ R^2),απλά να αναφέρω, ότι σαν βάση του θέματος που ανάρτησα ήταν ένα θέμα που την δεκαετία του 1970 είχε μπει ως θέμα Γεωμετρίας για την εισαγωγή στην τριτοβάθμια εκπαίδευση (Τότε έδιναν εξετάσεις ξεχωριστά Στην άλγεβρα-ανάλυση, στην Γεωμετρία και στην Τριγωνομετρία, δηλαδή ήταν τρείς βαθμοί). Το θέμα αυτό, τότε ήταν:
Δίνονται στο επίπεδο δύο κύκλοι Έστω τυχόν ευθύγραμμο τμήμα με σημείο του κύκλου και σημείο του κύκλου Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του μέσου του
Η διαπραγμάτευση μου στο επίπεδο, όπου εκεί αντί για σφαίρες έχουμε κύκλους είναι και με βάση το σχήμα που ακολουθεί η εξής:

$\displaystyle{\frac{k}{R} = \frac{n}{m} \Rightarrow k = \frac{n}{m}R \Rightarrow \frac{{\left| {nR - mr} \right|}}{m} \leqslant v \leqslant \frac{{nR + mr}}{m}\;\left( 1 \right). }$
Θεωρούμε σημείο της τέτοιο που $\displaystyle{\frac{{KQ}}{{QL}} = \frac{m}{n} \Rightarrow \frac{{MQ}}{v} = \frac{m}{{m + n}} \Rightarrow MQ = \frac{m}{{m + n}}v\;\left( 2 \right).}$ $\displaystyle{\left( 1 \right),\;\left( 2 \right) \Rightarrow \frac{{\left| {nR - mr} \right|}}{{m + n}} \leqslant MQ \leqslant \frac{{nR + mr}}{{m + n}}.}$
Επομένως το σημείο θα ευρίσκεται εντός ή επί των συνόρων κυκλικού δακτυλίου μεταξύ των κύκλων $\displaystyle{e:\left( {Q,\frac{{\left| {nR - mr} \right|}}{{m + n}}} \right),\,\;h:\left( {Q,\frac{{nR + mr}}{{m + n}}} \right).}$
Το αντίστροφο πιστοποιεί ότι ο δακτύλιος αυτός είναι τελικά ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος.

Σωτήρη καλησπέρα...

Επειδή αναφέρεις ανωτέρω ότι, "το αντίστροφο πιστοποιεί ότι ο δακτύλιος αυτός είναι ο ζητούμενος γ. τόπος", αναρτώ

το αντίστροφο αυτό με μερικά ακόμα σχόλια. Το θέμα βέβαια, για χάρη απλότητας, το μελετώ για το μέσο του τμήματος

του $\displaystyle{AB}$ .

1ο Σχήμα

: Γεωμ. τόπος στο επίπεδο 1.png (34.67 KiB) Προβλήθηκε 1295 φορές

Έστω ότι $\displaystyle{M'}$ είναι ένα τυχαίο σημείου του δακτυλίου(με το πράσινο χρώμα) ο οποίος έχει κέντρο το μέσον της

διακέντρου $\displaystyle{KL}$ και ορίζεται από τις κύκλους με ακτίνες: $\displaystyle{\frac{R-r}{2}, \frac{R+r}{2}}$

Θα δείξουμε ότι υπάρχουν σημεία $\displaystyle{A_1,B_1}$ επί των κύκλων $\displaystyle{(K,R), (L,r)}$ ώστε το σημείο $\displaystyle{M' }$ να είναι μέσον

του $\displaystyle{A_1B_1}$ .

Πράγματι αν $\displaystyle{K'_1}$ είναι το συμμετρικό του $\displaystyle{K}$ ως προς το σημείο $\displaystyle{M'}$ τότε θα είναι:

$\displaystyle{LK'_1=2(OM')}$

και συνεπώς:

$\displaystyle{ R-r \leq (LK'_1) \leq R+r \ \ (1) }$

Από την (1) προκύπτει ότι ο κύκλος $\displaystyle{(K'_1, R)}$ θα κόψει τον κύκλο $\displaystyle{(L,r)}$ σε ένα ή δύο σημεία,

έστω τα $\displaystyle{B_1,B_2}$ .

Εύκολα τώρα αν θεωρήσουμε τα συμμετρικά των σημείων αυτών ως προς το $\displaystyle{M'}$ εύκολα δείχνεται ότι

αυτά ανήκουν στον κύκλο $\displaystyle{(K,R)}$ (ισότητα τριγώνων).

Συνεπώς βρέθηκαν για το σημείο $\displaystyle{M'}$ δύο ζεύγη σημείων που να

ανήκουν αντίστοιχα στους αρχικούς κύκλους και να έχουν μέσο το τυχαίο σημείο $\displaystyle{M'}$ του δακτυλίου.

2ο Σχήμα

: Γεωμ. τόπος στο επίπεδο 2.png (49.12 KiB) Προβλήθηκε 1295 φορές

Στο σχήμα αυτό εμφανίζονται οι γ. τόποι των μέσων των τμημάτων $\displaystyle{AB}$ με τη δέσμευση ότι αυτά

κινούνται με συγκεκριμένους τρόπους.

Στο ανωτέρω σχήμα έχω εμφανίζει τέσσερις γ.τόπους του σημείου $\displaystyle{M}$ .

1o) Κύκλος(κόκκινο χρώμα), ο οποίος διαγράφεται όταν οι ταχύτητες των σημείων έχουν λόγο $\displaystyle{1:1}$ .
Ο κύκλος αυτός μπορεί να μεταβληθεί από τον ένα κύκλο του δακτυλίου μέχρι των άλλο ανάλογα με τις
αρχικές θέσεις των $\displaystyle{A,B}$ .

2o) Κλειστή καμπύλη με κίτρινο χρώμα όταν οι ταχύτητες έχουν λόγο $\displaystyle{2:1}$

3o) Κλειστή καμπύλη με πράσινο χρώμα όταν οι ταχύτητες έχουν λόγο $\displaystyle{3:1}$

4o) Κλειστή καμπύλη με γαλάζιο χρώμα όταν οι ταχύτητες έχουν λόγο $\displaystyle{4:1}$

Η μελέτη των καμπυλών αυτών ίσως απαιτεί αναλυτική γεωμετρία που δεν το έπραξα.

3ο Σχήμα

: Γεωμ. τόπος στο επίπεδο 3.png (19.38 KiB) Προβλήθηκε 1295 φορές

Στο σχήμα αυτό έχουμε ταυτίσει τα κέντρα $\displaystyle{K,L}$ των δύο κύκλων.

Θα μπορούσαμε στην περίπτωση αυτή να θεωρήσουμε ότι ακόμα να είναι $\displaystyle{R=r}$

με προφανή συμπεράσματα.

Κώστας Δόρτσιος

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιαν 04, 2021 11:43 pm**

Κώστα επανήλθα για να σε ευχαριστήσω που έδωσες σπάνια "κινητικότητα" και φανέρωση (από "απόκρυψη") καμπυλών που παράγονται από την κίνηση του

και που όμως αυτές οι καμπύλες δεν διαφεύγουν με τίποτα έξω από τον δακτύλιο (και τα σύνορα του) που είναι ο γεωμετρικός τόπος του

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιαν 11, 2021 5:17 pm**

Γεια σας
Συμπληρωματικά στις επεξεργασίες του Σωτήρη και του Κώστα θα ήθελα να δώσω άλλη μία εικονογράφηση.
Μπορούμε να αναζητήσουμε τα σημαία του τόπου μας σε δύο φάσεις. Σταθεροποιούμε ένα σημείο του

του κύκλου

. Τα σhμεία του τόπου που αντιστοιχούν σε αυτό ανήκουν σε ομοιόθετο κύκλο του

με κέντρο το σημείο

και λόγο ομοιοθεσίας s=m/(m+n)

.
Στη συνέχεια περιστρέφουμε το

στον

και μαζί του περιστρέφεται ο ομιοόθετος κύκλος. Οι περιστρεφόμενοι κύκλου γενικά παράγουν ένα κυκλικό δακτύλιο. Κάθε σημείο του τόπου προκύπτει από εφαρμογή μίας ομοιοθεσίας και μιας στροφής.

: 20201111c.png (62.28 KiB) Προβλήθηκε 1146 φορές

20201111c.ggb: (39.92 KiB) Μεταφορτώθηκε 39 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιαν 11, 2021 7:24 pm**

nsmavrogiannis έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 11, 2021 5:17 pm
Γεια σας
Συμπληρωματικά στις επεξεργασίες του Σωτήρη και του Κώστα θα ήθελα να δώσω άλλη μία εικονογράφηση.
Μπορούμε να αναζητήσουμε τα σημαία του τόπου μας σε δύο φάσεις. Σταθεροποιούμε ένα σημείο του του κύκλου . Τα σhμεία του τόπου που αντιστοιχούν σε αυτό ανήκουν σε ομοιόθετο κύκλο του με κέντρο το σημείο και λόγο ομοιοθεσίας .
Στη συνέχεια περιστρέφουμε το στον και μαζί του περιστρέφεται ο ομιοόθετος κύκλος. Οι περιστρεφόμενοι κύκλου γενικά παράγουν ένα κυκλικό δακτύλιο. Κάθε σημείο του τόπου προκύπτει από εφαρμογή μίας ομοιοθεσίας και μιας στροφής.
Το συνημμένο 20201111c.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο

Νίκο έχεις δίκιο. Είδα και το συνημμένο δυναμικό σχήμα σου.

Αναρτώ κι εγώ ένα σχήμα στατικό που δείχνει αυτό ακριβώς που λες κι εσύ

μόνο που εγώ για απλότητα πήρα λόγο ομοιοθεσίας ίσο με $\displaystyle{l=0.5}$

: Γεωμ. τόπος στο επίπεδο 4.png (29.29 KiB) Προβλήθηκε 1118 φορές

Στο σχήμα μου βέβαια φαίνεται και η άλλη ομοιοθεσία που δίνει τον δεύτερο κύκλο ο οποίος

εφάπτεται στον εσωτερικό κύκλο του δακτυλίου εσωτερικά.

Και οι δύο αυτοί κύκλοι σαρώνουν το δακτύλιο που είναι και ο ζητούτμενος γ. τόπος...

Σημείωση:

Δεν θα ήταν μια δημιουργική παρουσία σε μαθητές του σχολείου αυτή η απεικόνιση;

Κώστας Δόρτσιος

mathematica.gr

ΣΤΟΝ ΧΩΡΟ ΤΩΝ ΤΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ (EK TOY R^2) ΓΙΑ ΕΚΚΙΝΗΣΗ ΓΙΑ ΤΟ 2021.

ΣΤΟΝ ΧΩΡΟ ΤΩΝ ΤΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ (EK TOY R^2) ΓΙΑ ΕΚΚΙΝΗΣΗ ΓΙΑ ΤΟ 2021.

Re: ΣΤΟΝ ΧΩΡΟ ΤΩΝ ΤΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ (EK TOY R^2) ΓΙΑ ΕΚΚΙΝΗΣΗ ΓΙΑ ΤΟ 2021.

Re: ΣΤΟΝ ΧΩΡΟ ΤΩΝ ΤΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ (EK TOY R^2) ΓΙΑ ΕΚΚΙΝΗΣΗ ΓΙΑ ΤΟ 2021.

Re: ΣΤΟΝ ΧΩΡΟ ΤΩΝ ΤΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ (EK TOY R^2) ΓΙΑ ΕΚΚΙΝΗΣΗ ΓΙΑ ΤΟ 2021.

Re: ΣΤΟΝ ΧΩΡΟ ΤΩΝ ΤΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ (EK TOY R^2) ΓΙΑ ΕΚΚΙΝΗΣΗ ΓΙΑ ΤΟ 2021.

Re: ΣΤΟΝ ΧΩΡΟ ΤΩΝ ΤΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ (EK TOY R^2) ΓΙΑ ΕΚΚΙΝΗΣΗ ΓΙΑ ΤΟ 2021.

Re: ΣΤΟΝ ΧΩΡΟ ΤΩΝ ΤΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ (EK TOY R^2) ΓΙΑ ΕΚΚΙΝΗΣΗ ΓΙΑ ΤΟ 2021.

Re: ΣΤΟΝ ΧΩΡΟ ΤΩΝ ΤΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ (EK TOY R^2) ΓΙΑ ΕΚΚΙΝΗΣΗ ΓΙΑ ΤΟ 2021.

Re: ΣΤΟΝ ΧΩΡΟ ΤΩΝ ΤΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ (EK TOY R^2) ΓΙΑ ΕΚΚΙΝΗΣΗ ΓΙΑ ΤΟ 2021.

Re: ΣΤΟΝ ΧΩΡΟ ΤΩΝ ΤΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ (EK TOY R^2) ΓΙΑ ΕΚΚΙΝΗΣΗ ΓΙΑ ΤΟ 2021.