mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιαν 19, 2022 8:55 pm**

: Απίθανος λόγος.png (15.84 KiB) Προβλήθηκε 728 φορές

Στο ορθογώνιο ABC

, είναι :

.Ο κύκλος που διέρχεται από τα A , C

και το μέσο

της υποτείνουσας

, τέμνει την

στο

. Οι προεκτάσεις των

AM , CN

τέμνουν τον περίκυκλο του τριγώνου στα S , T

. Βρείτε τον λόγο : $\dfrac{ST}{MN}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιαν 20, 2022 2:30 am**

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 19, 2022 8:55 pm
Απίθανος λόγος.pngΣτο ορθογώνιο , είναι : .Ο κύκλος που διέρχεται από τα

και το μέσο της υποτείνουσας , τέμνει την στο . Οι προεκτάσεις των

τέμνουν τον περίκυκλο του τριγώνου στα . Βρείτε τον λόγο : $\dfrac{ST}{MN}$ .

Είναι προφανής η ισότητα των πράσινων γωνιών,άρα ST//MN

.

Από Π.Θ είναι $BC^2=\dfrac{10}{9} AB^2$ κι από $BM.BC=BN.BA\Rightarrow BN.AB= \dfrac{BC^2}{2} \Rightarrow BN= \dfrac{5}{9}AB$

και $\dfrac{BN}{AB}=\dfrac{5}{9} =\dfrac{CN}{CT}$

άρα

$\dfrac{MN}{QT}= \dfrac{CN}{CT}=\dfrac{5}{9}$ κι επειδή $QT= \dfrac{ST}{2} \Rightarrow \dfrac{ST}{MN}= \dfrac{18}{5}$

( TBCA

είναι ισοσκελές τραπέζιο)

: απίθανος λόγος.png (17.52 KiB) Προβλήθηκε 701 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιαν 20, 2022 11:44 am**

Με τους συμβολισμούς του σχήματος, την ομοιότητα των τριγώνων STC

,

, και $RC \parallel ST \parallel NM$ είναι,

$\displaystyle{ \left. \begin{aligned} & {ST \over NM} = {TC \over MK} = {AB \over MK} \cr & \cr & DU = {1 \over 2} AR = {1 \over 2} {1 \over 3} AC = {1 \over 2} {1 \over 3} {1 \over 3} AB = {AB \over 18} \cr & \cr & MU = MD + DU = {AB \over 2} + {AB \over 18} = {10 \ AB \over 18} \rightarrow MK = {5 \ AB \over 18} \cr \end{aligned} \right\} \rightarrow {ST \over NM} = {5 \over 18} }$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιαν 20, 2022 1:10 pm**

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 19, 2022 8:55 pm
Απίθανος λόγος.pngΣτο ορθογώνιο , είναι : .Ο κύκλος που διέρχεται από τα

και το μέσο της υποτείνουσας , τέμνει την στο . Οι προεκτάσεις των

τέμνουν τον περίκυκλο του τριγώνου στα . Βρείτε τον λόγο : $\dfrac{ST}{MN}$ .

Με

εύκολα

και με Π. Θ στο NAC

βρίσκω $x=\dfrac{5b}{3}.$

: Απίθανος λόγος.png (18.19 KiB) Προβλήθηκε 670 φορές

$\displaystyle \frac{{ST}}{{NM}} = \frac{{2TP}}{{NM}} = \frac{{2TC}}{{NC}} = \frac{{2BA}}{x} = \dfrac{{6b}}{{\dfrac{{5b}}{3}}} \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{{ST}}{{NM}} = \frac{{18}}{5}}$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιαν 20, 2022 1:26 pm**

Ας είναι

η τομή των $TS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC$ . Φέρνω την εφαπτομένη του μικρού κύκλου στο

και τέμνει την

στο

.

Επειδή το τετράπλευρο $ANMC\,$ είναι εγγράψιμο θα έχω $\widehat {{\alpha _1}} = \widehat {{\alpha _3}}$ και ακόμα $\widehat {{\alpha _1}} = \widehat {{\alpha _2}}$ ( βαίνουν στο ίδιο τόξο στον μεγάλο κύκλο) .

: Απίθανος λόγος_new.png (34.18 KiB) Προβλήθηκε 668 φορές

Άρα , $\widehat {{\alpha _2}} = \widehat {{\alpha _3}} \Rightarrow MN//TS\,$ και οι $MN\,\,,\,\,TS$ είναι κάθετες στη μεγάλη διάμετρο

.

Τα ορθογώνια τρίγωνα : $ABC\,\,,\,\,TBC\,\,,\,\,TEC\,\,,\,\,NMC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DMN$ είναι όμοια με λόγο καθέτων πλευρών $\boxed{\lambda = 3}$ .

Αν λοιπόν $DM = k \Rightarrow MN = 3k\,\,,\,\,MC = 9k\,$ και άρα BC = 2MC = 18k

. Θέτω

.

$\boxed{\frac{{TS}}{{MN}} = 2\frac{{TE}}{{MN}} = 2\frac{{TC}}{{NC}} = 2\frac{{BC}}{{DC}} = 2\frac{{18k}}{{10k}} = \frac{{18}}{5}}$

mathematica.gr

Απίθανος λόγος

Απίθανος λόγος

Re: Απίθανος λόγος

Re: Απίθανος λόγος

Re: Απίθανος λόγος

Re: Απίθανος λόγος