mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Οκτ 14, 2022 12:54 pm**

: Σταθερό μήκος και διεύθυνση.png (11.17 KiB) Προβλήθηκε 1042 φορές

Δίνεται τρίγωνο ABC

και τα μεταβλητά σημεία D, E

των πλευρών του AB, AC

αντίστοιχα. Αν οι μεσοκάθετοι των

BD, CE

τέμνονται στο

και

είναι το περίκεντρο του τριγώνου ADE,

να δείξετε ότι το τμήμα

έχει σταθερό

μήκος και διεύθυνση, ανεξάρτητα από τη θέση των σημείων D, E.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Οκτ 14, 2022 3:51 pm**

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 14, 2022 12:54 pm
Σταθερό μήκος και διεύθυνση.png
Δίνεται τρίγωνο και τα μεταβλητά σημεία των πλευρών του αντίστοιχα. Αν οι μεσοκάθετοι των

τέμνονται στο και είναι το περίκεντρο του τριγώνου να δείξετε ότι το τμήμα έχει σταθερό

μήκος και διεύθυνση, ανεξάρτητα από τη θέση των σημείων

$\bullet$ Ας είναι B{B}',C{C}'

τα δύο ύψη του τριγώνου $\vartriangle ABC$ και {N}',{M}'

οι προβολές του περίκεντρου

του τριγώνου $\vartriangle ADE$ στις πλευρές του AD,AE

αντίστοιχα.

Προφανώς $D{N}'=\dfrac{A{C}'}{2}$ και ${M}'E=\dfrac{AE}{2}$ (αποστήματα σε χορδές) και με $DN=\dfrac{BD}{2},CM=\dfrac{EC}{2}$ προκύπτει ότι: $\left( N{N}'=\dfrac{AB}{2},M{M}'=\dfrac{AC}{2} \right)\Rightarrow \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{N{N}'}{M{M}'}:\left( 1 \right)$

Το τετράπλευρο BC{B}'{C}'

είναι προφανώς (λόγω των ορθών γωνιών εξ’ αιτίας των υψών) εγγράψιμο σε κύκλο διαμέτρου

οπότε με τη βοήθεια των τεμνομένων χορδών θα ισχύει: $A{C}'\cdot AB=A{B}'\cdot AC\Rightarrow \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{A{B}'}{A{C}'}\overset{\left( 1 \right)}{\mathop{\Rightarrow }}\,\dfrac{N{N}'}{M{M}'}=\dfrac{A{B}'}{A{C}'}:\left( 2 \right)$

: Σταθερό μήκος και σταθερή διεύθυνση.png (43.87 KiB) Προβλήθηκε 1013 φορές

$\bullet$ Από τη $\left( 2 \right)$ σύμφωνα με το Stathis Koutras Theorem θα είναι $ST\bot {B}'{C}':\left( 3 \right)$ .

Αλλά από το Θεώρημα του Nagel είναι και $AO\bot {B}'{C}':\left( 4 \right)$ , όπου

το περίκεντρο του σταθερού τριγώνου $\vartriangle ABC$ . Από $\left( 3 \right),\left( 4 \right)\Rightarrow ST\parallel AO$ και αν

είναι η ορθή προβολή του

στην

(προφανώς το μέσο της

) θα είναι $OK=\dfrac{AC}{2}=M{M}'$ και συνεπώς επειδή $ST\parallel AO$ και οι ST,AO

έχουν ίσες ορθές προβολές στην σταθερή ευθεία της πλευράς

του $\vartriangle ABC$ θα είναι και ίσες, δηλαδή θα ισχύει: $ST=\parallel AO$ ,άρα η

έχει σταθερή διεύθυνση και σταθερό μήκος τη διεύθυνση και το μήκος της σταθερής ακτίνας του περίκυκλου του τριγώνου $\vartriangle ABC$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Οκτ 14, 2022 7:02 pm**

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 14, 2022 12:54 pm
Σταθερό μήκος και διεύθυνση.png
Δίνεται τρίγωνο και τα μεταβλητά σημεία των πλευρών του αντίστοιχα. Αν οι μεσοκάθετοι των

τέμνονται στο και είναι το περίκεντρο του τριγώνου να δείξετε ότι το τμήμα έχει σταθερό

μήκος και διεύθυνση, ανεξάρτητα από τη θέση των σημείων

Εστω ότι

$EM=MC=x,DN=NB=y,AL=LE=\dfrac{b-2x}{2},$ και $SS_{1}//AC,SS_{2}//AB$

Τότε τα τρίγωνα $ABC,SS_{1}S_{2},$ είναι όμοια γιατί

$\dfrac{SS_{1}}{AC}=\dfrac{SS_{2}} {AB}=\dfrac{1}{2},$

και $\hat{A}=\hat{S_{1}AS_{2}}$

Εφόσον $SS_{1}//AC$ η ευθέια $SS_{1}$ έχει σταθερή διευθυνση ,ομοίως για την

$TS_{1}M,$ που είναι κάθετη στην

Οπότε η εφαπτομένη της γωνίας

$\theta =\hat{TSS_{1}}$

είναι σταθερή άρα και η

Έχει σταθερή διεύθυνση Το γραμμοσκιασμένο

τρίγωνο

$STS_{1}$ κατασκευάζεται αφού έχει είναι ορθογώνιο και

$SS_{1}=\dfrac{b}{2}, \theta =\hat{TSS_{1}}=ct$ Αρα και το μήκος του $TS=\dfrac{b}{2}.tan\theta$ είναι σταθερό

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Οκτ 14, 2022 8:33 pm**

: constant_length_and_direction.png (36.26 KiB) Προβλήθηκε 935 φορές

Έστω

,

τα αντιδιαμετρικά του

στους κύκλους $\omega=(ADE)$ , $\Omega=(ABC)$ αντίστοιχα.
Εφόσον $\angle ADK= \angle ABL=90^{\circ}$ , τότε το μέσο

του

ισαπέχει των

,

(γνωστή ιδιότητα δισορθογώνιου τραπεζίου),
δηλαδή το

ανήκει στη μεσοκάθετο του

. Όμοια το

ανήκει στη μεσοκάθετο του

. Επομένως, $T' \equiv T$ .
Από το τρίγωνο AKL

τα

,

μέσα των

,

αντίστοιχα, οπότε $OT \, \parallel \,= AS$ , κι ως εκ τούτου το ASTO

είναι
παραλληλόγραμμο. Από αυτό προκύπτει ότι $ST \,\parallel \,=OA$ .

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Οκτ 14, 2022 9:00 pm**

Λέγαμε κάποτε, αφού οι προβολές του διανύσματος ST σε δύο άξονες, τους ΑΒ, ΑC, είναι σταθερά διανύσματα, και το διάνυσμα ST είναι, ομοίως, σταθερό.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Οκτ 15, 2022 8:41 am**

rek2 έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 14, 2022 9:00 pm
Λέγαμε κάποτε, αφού οι προβολές του διανύσματος ST σε δύο άξονες, τους ΑΒ, ΑC, είναι σταθερά διανύσματα, και το διάνυσμα ST είναι, ομοίως, σταθερό.

Μ' αρέσεις