mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Φεβ 18, 2023 2:35 pm**

: Ακτινολόγος από εμβαδολόγο.png (17.7 KiB) Προβλήθηκε 733 φορές

Δίνονται δύο κύκλοι (O, R), (K, r)

που εφάπτονται εξωτερικά στο

και δύο σημεία τους M, N

ώστε οι ακτίνες

OM, KN

να είναι παράλληλες και ομόρροπες. Ονομάζω $\displaystyle A\widehat OM = \theta$ και E_1

το εμβαδόν του τραπεζίου OMNK

για το οποίο είναι $\displaystyle \cos \theta = \frac{{R - r}}{{R + r}}.$ Έστω ακόμα E_2

το μέγιστο εμβαδόν του OMNK.

α) Να βρείτε τις θέσεις των σημείων M, N

που αντιστοιχούν στα εμβαδά E_1, E_2

β) Αν επιπλέον $\displaystyle \frac{{{E_1}}}{{{E_2}}} = \frac{{12}}{{13}},$ να βρείτε το λόγο των ακτίνων $\displaystyle \frac{r}{R}.$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Νοέμ 16, 2025 9:59 pm**

Επαναφορά!

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Νοέμ 23, 2025 8:52 am**

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 18, 2023 2:35 pm
Ακτινολόγος από εμβαδολόγο.png
Δίνονται δύο κύκλοι που εφάπτονται εξωτερικά στο και δύο σημεία τους ώστε οι ακτίνες

να είναι παράλληλες και ομόρροπες. Ονομάζω $\displaystyle A\widehat OM = \theta$ και το εμβαδόν του τραπεζίου

για το οποίο είναι $\displaystyle \cos \theta = \frac{{R - r}}{{R + r}}.$ Έστω ακόμα το μέγιστο εμβαδόν του

α) Να βρείτε τις θέσεις των σημείων που αντιστοιχούν στα εμβαδά

β) Αν επιπλέον $\displaystyle \frac{{{E_1}}}{{{E_2}}} = \frac{{12}}{{13}},$ να βρείτε το λόγο των ακτίνων $\displaystyle \frac{r}{R}.$

α) Έστω

το ύψος του τραπεζίου. Αν $\cos \theta = \dfrac{{R - r}}{{R + r}},$ τότε OL = R - r,

δηλαδή το

είναι

το κοινό εξωτερικό εφαπτόμενο τμήμα των δύο κύκλων. Στην περίπτωση αυτή $\boxed{E_1=(R+r)\sqrt{Rr}}$ (1)

: Ακτ.Εμβ-1.png (19.89 KiB) Προβλήθηκε 222 φορές

$\displaystyle (OKNM) = \frac{{R + r}}{2}h = \frac{{R + r}}{2}(R + r)\sin \theta \le \frac{{{{(R + r)}^2}}}{2}.$ Άρα, το εμβαδόν μεγιστοποιείται

όταν $\theta=90^\circ,$ και γίνεται ίσο με $\boxed{E_2=\dfrac{(R+r)^2}{2}}$ (2)

β) Από τις (1), (2)

και τη σχέση που δίνεται, παίρνω 36r^2-97Rr+36R^2=0,

απ' όπου $\boxed{\frac{r}{R}=\frac{4}{9}}$

mathematica.gr

Ακτινολογία και Εμβαδολογία

Ακτινολογία και Εμβαδολογία

Re: Ακτινολογία και Εμβαδολογία

Re: Ακτινολογία και Εμβαδολογία