mathematica.gr

Δίνεται τρίγωνο το ύψος του και τα σημεία των πλευρών αντίστοιχα, ώστε

Να δείξετε ότι τα σημεία τομής των κύκλων με διαμέτρους βρίσκονται πάνω στην ευθεία


24 ώρες για μαθητές.

Ας είναι τα κέντρα του μπλε και κόκκινου κύκλου, αντιστοίχως, και, τα ύψη του τριγώνου, των οποίων, σαφώς, τα ίχνη τους είναι σημεία των κύκλων αντιστοίχως, γιατί βλέπουν τις διαμέτρους τους υπό ορθή γωνία.

Άμεσα , αφού το συνδέει τα μέσα των διαγωνίων του τραπεζίου

Ας είναι το τρίτο ύψος του τριγώνου, το οποίο, άρα, είναι κάθετο στην διάκεντρο , ως κάθετο στην

Με σύντομο κυνήγι γωνιών, τα είναι σημεία νέου, τρίτου, κύκλου. Οι τρείς κύκλοι έχουν φανερά ριζικό κέντρο το Έτσι το ύψος , αφού διέρχεται από το ριζικό κέντρο και είναι κάθετο στην διάκεντρο , είναι ριζικός άξονας των κύκλων και διέρχεται από τα σημεία τομής τους.

Καλημέρα. Μία λύση, λίγο πιο αναλυτικά.

Έστω τα κέντρα των κύκλων διαμέτρων αντίστοιχα, δηλαδή τα μέσα των τμημάτων αντίστοιχα.

Aς είναι τα άλλα δύο ύψη του τριγώνου.

Ισχυρισμός 1: Είναι κάθετη στην . Αυτό ισχύει, καθώς η είναι κάθετη στην και η είναι παράλληλη στην ως συνδέουσα των μέσων των διαγωνίων του τραπεζίου . Done!

Ισχυρισμός 2: Έχουμε εγγράψιμο. Όμως το ανήκει στον κύκλο και ομοίως το ανήκει στον κύκλο διότι Συνεπώς, το είναι το ριζικό κέντρο των κύκλων

Από αυτούς τους δύο ισχυρισμούς προκύπτει ότι η ευθεία είναι ο ριζικός άξονας των κύκλων πράγμα που αποδεικνύει το ζητούμενο.

Αξίζει νομίζω να εξηγήσουμε γιατί το Α είναι ριζικό κέντρο των τριών κύκλων.

Έχουμε δείξει ότι εγγράψιμο, ο κύκλος και ο κύκλος

Συνεπώς, ο ριζικός άξονας των κύκλων είναι η ευθεία και ο ριζικός άξονας των κύκλων είναι η ευθεία Οπότε, το ριζικό κέντρο των κύκλων είναι το σημείο τομής των ευθειών και δηλαδή το σημείο

Απλά το έγραψα για τους μαθητές γυμνασίου ή ακόμα και λυκείου που είναι πολύ πιθανό να μην γνωρίζουν τι είναι ριζικός άξονας δύο κύκλων και ριζικό κέντρο τριών κύκλων. Κρατήστε σημειώσεις, αν θέλετε:

Ριζικός άξονας δύο κύκλων με δύο κοινά σημεία: Ονομάζεται η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία τομής τους

Ριζικό κέντρο τριών κύκλων: Ονομάζεται το σημείο στο οποίο τέμνονται οι ριζικοί άξονες των ζευγών των κύκλων.

Έστω τα ίχνη των υψών από τις κορυφές αντίστοιχα, τα οποία ανήκουν στους αντίστοιχους κύκλους με κέντρα τα μέσα

των αντίστοιχα και έστω το ορθόκεντρο του τριγώνου.

Τότε ισχύει:

Αυτό ως ικανή και αναγκαία συνθήκη, οδηγεί στη καθετότητα της επί της άρα και επί των

Άρα η ευθεία ορίζει τον φορέα του ύψους Δηλαδή το ανήκει στο ύψος

Το αυτό συμβαίνει και για το σημείο , αν βέβαια τα είναι τα σημεία τομής των δοθέντων κύκλων.

(*) Αν και απέφυγα για λόγους πλουραλισμού και μόνο (μετά τις άριστες λύσεις που προηγήθηκαν) την επίλυση μέσω ριζικού άξονα και ριζικού κέντρου, ας μου επιτραπεί να δώσω τον ορισμό του ριζικού άξονα δύο κύκλων στο ίδιο επίπεδο, που είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του εν λόγω επιπέδου που έχουν την ίδια δύναμη ως προς τους κύκλους αυτούς. Ένα βασικό θεώρημα που προκύπτει από αυτό και που αποδεικνύεται πολύ εύκολα είναι: Η κοινή χορδή δύο τεμνόμενων κύκλων είναι ο ριζικός τους άξονας. Το αυτό συμβαίνει και για την κοινή εφαπτομένη δύο εφαπτόμενων κύκλων.