mathematica.gr

Τα σημεία είναι συνευθειακά , με και τα είναι τα μέσα των ,

αντίστοιχα . Από σημείο , το οποίο κινείται στην κάθετη της στο , φέρουμε τα εφαπτόμενα

τμήματα . Οι τέμνονται στο , ενώ οι μεσοκάθετοι των , τέμνονται

στο . Δείξτε ότι τα σημεία , είναι συνευθειακά και βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του .

Οι δέσμες και έχουν ίδιο διπλό λόγο (είναι αρμονικές λόγω των καθέτων διχοτόμων και κ.λπ.), επομένως, αφού έχουν κοινή την ακτίνα , τα σημεία τομής των τριών ζευγών των άλλων ομολόγων ακτίνων είναι συνευθειακά.

Τα τρίγωνα και είναι ίσα. Έτσι, άμεσα και τρίγωνα και είναι ίσα, οπότε , άρα και που σημαίνει ότι το βρίσκεται στη μεσοκάθετη του κ.λπ.

Καλημέρα, έμαθα να κάνω και σχήματα τώρα ...

Στρατηγική απόδειξης πρώτου ερωτήματος:
Να δειχθεί ότι τα σημεία και βρίσκονται στην μεσοκάθετο του ευθύγραμμου τμήματος

Ημιτελής απόδειξη:
Το σημείο είναι εξωτερικό σημείο των κύκλων με σημεία επαφής και άρα

Για τα ορθογώνια τρίγωνα και ισχύει ότι:
Έχουν κοινή πλευρά και , επομένως είναι ίσα. Οπότε

Μέχρι στιγμής έχει αποδειχθεί ότι τα σημεία και βρίσκονται στην μεσοκάθετο του ευθύγραμμου τμήματος
Όμως, δυσκολεύομαι να αποδείξω ότι

Ευχαριστώ, εκ των προτέρων όποιον/α δώσει κάποια υπόδειξη με σχολικά μέσα Α λυκείου, αλλά και τους αναγνώστες.

KARKAR έγραψε: ↑

Δευ Αύγ 12, 2024 11:56 am

Τα σημεία είναι συνευθειακά , με και τα είναι τα μέσα των , αντίστοιχα . Από σημείο , το οποίο κινείται στην κάθετη της στο , φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα . Οι τέμνονται στο , ενώ οι μεσοκάθετοι των , τέμνονται στο . Δείξτε ότι τα σημεία , είναι συνευθειακά και βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του .

Γεια από το καμένο κλείνον άστυ αφού δεν έμεινε τίποτα όρθιο (ΔΥΣΤΥΧΩΣ-ΗΜΑΡΤΟΝ).

Ας δούμε το σχήμα.

Με βάση το ότι οι ευθείες συντρέχουν στο κέντρο ομοιότητας ή ομοιοθεσίας των κύκλων (γνωστή, βασική και απλή για τον φάκελο πρόταση), τότε η συνέχεια της λύσης είναι άμεση εφαρμογή του θεωρήματος Desargues για τα τρίγωνα (*) Θα επανέρθουμε για λεπτομέρειες.

Έστω (*) το σημείο τομής των ευθειών και . Τότε,
, οπότε τα σημεία , , , ανήκουν στον ιδιο κύκλο κέντρου .
Από την άλλη μεριά, το σημείο είναι το το ένα από τα δύο σημεία ποδηλατιστών (**) για τους κύκλους
και (με κέντρα , αντίστοιχα). Επομένως, το είναι παραλληλόγραμμο. Από αυτά προκύπτει
ότι , και εφόσον και , τα , και συνευθειακά.
Από το παραλληλόγραμμο προκύπτει ότι το ανήκει στη μεσοκάθετο του .

(*) Το ότι οι , και διέρχονται από το ίδιο σημείο προκύπτει εύκολα από την ισότητα .
(**) Για το πρόβλημα των δύο ποδηλατιστών βλέπε εδώ

Η παρούσα ανάρτηση αποτελεί συνέχεια της ανάρτησης #3 από όπου λαμβάνουμε ως δεδομένο ότι είναι διχοτόμος της .

αφού είναι διχοτόμος της ως μεσοκάθετη του
αφού ως κατακορυφήν γωνίες και ως κατακορυφήν γωνίες.

Ομοίως

Επομένως, το είναι το έγκεντρο του άρα είναι διχοτόμος της γωνίας

Άρα τα σημεία και είναι συνευθειακά.