mathematica.gr

Σε σημείο της βάσης τριγώνου , για το οποίο είναι : , υψώνουμε

κάθετη , η οποία τέμνει την στο . Επί του , θεωρούμε σημείο , τέτοιο ώστε :

. Πώς θα ορίσουμε σημεία των αντίστοιχα , ώστε τα

να είναι συνευθειακά και το να είναι το μέσο του τμήματος ;

KARKAR έγραψε: ↑

Σάβ Δεκ 28, 2024 4:44 pm

Σε σημείο της βάσης τριγώνου , για το οποίο είναι : , υψώνουμε

κάθετη , η οποία τέμνει την στο . Επί του , θεωρούμε σημείο , τέτοιο ώστε :

. Πώς θα ορίσουμε σημεία των αντίστοιχα , ώστε τα

να είναι συνευθειακά και το να είναι το μέσο του τμήματος ;

Μπορούμε να λύσουμε το πρόβλημα γενικότερα, όπου δίνεται τυχαίο σημείο στο εσωτερικό του τριγώνου. Άλλωστε πρόκειται για γνωστό και παλιό θέμα:

Φέρνουμε την και την επεκτείνουμε μέχρι το έτσι ώστε το να είναι το μέσον του . Από το φέρνουμε παράλληλες προς τις πλευρές Οι παράλληλες αυτές τέμνουν τις πλευρές στα ζητούμενα σημεία . Βασικά πρόκειται για την ιδιότητα των παραλληλογράμμων στα οποία, ως γνωστόν, οι διαγώνιες διχοτομούνται.

Το σχήμα της λύσης . Επιπλέον ερώτημα : Βρείτε το "ύψος" του , συναρτήσει του .

Το σκέφτηκα λίγο διαφορετικά από το Μιχάλη, στην περίπτωση που τυχαία σημεία των και .
Αν προεκτείνουμε κατά και από το φέρουμε παράλληλη στην , αυτή τέμνει την στο . Φέρνουμε τώρα την η οποία τέμνει την στο .
Από την ισότητα των τριγώνων έχουμε

Στην περίπτωση που βρίσκουμε τη σχέση του "ύψους" με το ύψος του τριγώνου ως εξής:

Από την ομοιότητα των τριγώνων έχουμε ότι οπότε

Από την ομοιότητα των τριγώνων με λόγο θα είναι

Το ακριβές σχήμα της λύσης , που εν τέλει προκύπτει από την ομοιότητα των τριγώνων : .