mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιαν 24, 2025 7:32 pm**

: Τμήμα και εμβαδόν.png (12.33 KiB) Προβλήθηκε 528 φορές

Στο τρίγωνο ABC

, με : $\hat{C}=2\hat{B}$ , φέρουμε το ύψος

και την διάμεσο

.

α) Δείξτε ότι : $MD=\dfrac{b}{2}$ .

β) Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου συναρτήσει - μόνο - των πλευρών a , b

.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιαν 25, 2025 2:16 am**

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 24, 2025 7:32 pm
Τμήμα και εμβαδόν.pngΣτο τρίγωνο , με : $\hat{C}=2\hat{B}$ , φέρουμε το ύψος και την διάμεσο .

α) Δείξτε ότι : $MD=\dfrac{b}{2}$ .

β) Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου συναρτήσει - μόνο - των πλευρών .

Με

μέσον της

είναι

, άρα $\angle NMC= \theta$ κι επειδή $\angle ACB=\angle NDC= 2\theta$ ,

θα είναι $\angle MND= \theta \Rightarrow MD=DN= \dfrac{b}{2}$

$h^2=b^2- DC^2= b^2- (\dfrac{a-b}{2})^2 \Rightarrow h= \dfrac{ \sqrt{3b^2+2ab-a^2} }{2}$ άρα

$(ABC)= \dfrac{a \sqrt{3b^2+2ab-a^2} }{4}$

: τμήμα και εμβαδόν.png (12.38 KiB) Προβλήθηκε 487 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιαν 25, 2025 4:02 am**

α)
Έστω

και

τα μέσα των

και

αντίστοιχα.

Ισχύει ότι...(

) Άρα τα τετράπλευρα ANMK, KNCM, KNMB

είναι παραλληλόγραμμα και KNDM

είναι ισοσκελές τραπέζιο.

Από KNCM

έχουμε $\angle MKN = \angle NCM = 2\theta$

Από KNMB

έχουμε $\angle KNM = \angle MBK = \theta$

Από $KN \parallel MD$ με τέμνουσα

έχουμε $\angle NMD = \angle KNM = \theta$ ως εντός εναλλάξ.

Πράγματι $\angle MND = \angle KND - \angle KNM = \angle MKN - \angle KNM$ από KNDM

$= 2\theta-\theta = \theta$ έχουμε $\triangle NMD$ ισοσκελές, δηλαδή MD = ND

Από $ND = \frac{b}{2}$ ... Επομένως, $MD = \frac{b}{2}$

β)
$\sin\left( 2\theta \right) = 2 \sin\theta \cos\theta = 2 \frac{AD}{c} \frac{\frac{a}{2}+\frac{b}{2}}{c} = AD \frac{a+b}{c^2}$

$\Leftrightarrow \frac{AD}{b} = AD \frac{a+b}{c^2}\Leftrightarrow c = \sqrt{b(a+b)}$

Χρησιμοποιώντας τον τύπο του Ήρωνα, λαμβάνουμε το ζητούμενο:
$\left(ABC\right)\displaystyle{=\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+\sqrt{b(a+b)})(a+b-\sqrt{b(a+b)})(b+\sqrt{b(a+b)}-a)(\sqrt{b(a+b)}+a-b))}$

$=\frac{a}{4} \sqrt{(a + b)(3 b - a)}$

: Τμήμα και εμβαδόν.png (39.87 KiB) Προβλήθηκε 483 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιαν 25, 2025 6:01 am**

Στο πρώτο μέρος της απάντησης στο ερώτημα β) , ο Νικήτας μας χάρισε μία ακόμη απόδειξη

του θεωρήματος : " Σε τρίγωνο ABC

, με : $\hat{C}=2\hat{B}$ , ισχύει : c^2=b^2+ab

"

Υπενθυμίζεται ότι πολλές αποδείξεις του , μπορεί να βρει κανείς εδώ

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιαν 25, 2025 9:52 am**

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 24, 2025 7:32 pm
Τμήμα και εμβαδόν.pngΣτο τρίγωνο , με : $\hat{C}=2\hat{B}$ , φέρουμε το ύψος και την διάμεσο .

α) Δείξτε ότι : $MD=\dfrac{b}{2}$ .

β) Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου συναρτήσει - μόνο - των πλευρών .

Αλλιώς για το α).

: Τμήμα και εμβαδόν.Κ.png (16.02 KiB) Προβλήθηκε 453 φορές

Αν

μέσο της

τότε $MN//=\dfrac{AC}{2},$ οπότε $\displaystyle N\widehat MB = 2\theta \Leftrightarrow M\widehat ND = \theta \Leftrightarrow$ $\boxed{MD=MN=\frac{b}{2}}$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιαν 28, 2025 6:16 pm**

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 24, 2025 7:32 pm
Τμήμα και εμβαδόν.pngΣτο τρίγωνο , με : $\hat{C}=2\hat{B}$ , φέρουμε το ύψος και την διάμεσο .

α) Δείξτε ότι : $MD=\dfrac{b}{2}$ .

β) Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου συναρτήσει - μόνο - των πλευρών .

Προεκτείνω την

κατά

. Θέτω $AD = h\,\,,\,\,BM = k\,\,,\,\,DC = y\,\,\kappa \alpha \iota \,AC = {b_0} = b$ .

Επειδή το $\vartriangle CSA$ είναι ισοσκελές με εξωτερική γωνία στο

την $2\theta$ θα είναι $\widehat {S_{}^{}} = \theta$ άρα και το $\vartriangle ABS$ ισοσκελές .

Ταυτόχρονα έχω : $\left\{ \begin{gathered} k + x = y + b \hfill \\ k = x + y \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow 2x + y = y + b \Leftrightarrow \boxed{2x = b}$

: ΤΜήμα κι εμβαδόν.png (15.65 KiB) Προβλήθηκε 371 φορές

Επίσης $\boxed{\left( {ABC} \right) = \frac{a}{2}h = \frac{a}{2}\sqrt {{b^2} - {y^2}} }$ . Αλλά $k + x + y = a \Rightarrow y = a - \left( {k + x} \right) = a - \left( {b + y} \right) \Rightarrow \boxed{y = \frac{{a - b}}{2}}$

Έτσι η προηγούμενη γίνεται : $\boxed{\left( {ABC} \right) = \frac{a}{2}\sqrt {{b^2} - \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{4}} = \frac{a}{4}\sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {3b - a} \right)} }$