mathematica.gr

Στο ισοσκελές τρίγωνο , το είναι το μέσο της και το τυχόν σημείο της .

Εντοπίστε σημείο της , τέτοιο ώστε η να είναι η διχοτόμος της γωνίας .

KARKAR έγραψε: ↑

Κυρ Ιούλ 06, 2025 3:42 am

Στο ισοσκελές τρίγωνο , το είναι το μέσο της και το τυχόν σημείο της .

Εντοπίστε σημείο της , τέτοιο ώστε η να είναι η διχοτόμος της γωνίας .

.
Μπορούμε πιο γενικά: Δεν χρειάζεται να υποθέσουμε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές, ούτε να θεωρώσουμε ότι το είναι μέσον της πλευράς. Το κάνω για τυχαίο τρίγωνο και τυχαία στις δύο πλευρές.

Προεκτείνουμε την μέχρι να τμήσει την στο . Γράφουμε τώρα τον κύκλο του Απολλωνίου των σημείων με . Εκεί που ο κύκλος αυτός τέμνει την είναι το ζητούμενο σημείο . H θεωρία γνωστή.
.

KARKAR έγραψε: ↑

Κυρ Ιούλ 06, 2025 3:42 am

Δύσκολη διχοτόμος.pngΣτο ισοσκελές τρίγωνο , το είναι το μέσο της και το τυχόν σημείο της .

Εντοπίστε σημείο της , τέτοιο ώστε η να είναι η διχοτόμος της γωνίας .

Ας είναι σταθερό με σταθερά σημεία των πλευρών του .

Έστω ακόμα ο, σταθερός κύκλος , με τη σταθερή απόσταση του από την .

Η πολική του ως προς αυτόν τον κύκλο είναι σταθερή και τέμνει εν γένει σε δύο σημεία τον κύκλο . Αν το ένα απ’ αυτά , η τέμνει την στο που θέλω

Το πιο από τα δυο επιλέγω εξαρτάται από τις θέσεις των πάνω στις

Ίσως γι’ αυτό έδωσε το είδος του τριγώνου και τη θέση του στην , ο Θανάσης.

Στην λύση του Μιχάλη , ίσως απαιτείται μια συμπλήρωση για την περίπτωση που .

Θέτω ένα ερώτημα , που ίσως βοηθήσει να δοθεί μια ακόμα διαφορετική απάντηση στο αρχικό :

Αν , και μέσο της , να υπολογισθεί το τμήμα .

KARKAR έγραψε: ↑

Κυρ Ιούλ 06, 2025 10:42 am

Στην λύση του Μιχάλη , ίσως απαιτείται μια συμπλήρωση για την περίπτωση που .

.
Σωστά.

Ευτυχώς ο συλλογισμός που έδωσα συμπεριλαμβάνει και αυτή την περίπτωση ως την εκφυλισμένη εκδοχή: Όταν οι είναι παράλληλες, δηλαδή τέμνονται στο άπειρο, τότε ο κύκλος του Απολλωνίου δίνει . Οπότε απλά λαμβάνουμε το στην τομή της και του κύκλου κέντρου και ακτίνας . Τότε λόγω παραλληλίας και από το ισοσκελές τρίγωνο έχουμε τρεις ίσες γωνίες, τις . Ειδικά, η είναι η ζητούμενη διχοτόμος.
.

Από το φέρουμε την εφαπτομένη προς τον κύκλο η οποία τέμνει την στο ζητούμενο .

( Η αναφορά της πολικής μάλλον περιττεύει ) . Αν , από τα όμοια τρίγωνα

( γιατί είναι όμοια ; ) , παίρνουμε : , συνεπώς : . ( Μιλάμε για το ισοσκελές ) .

Κατ αρχάς
Από θαλή
Ο κύκλος διαμέτρου επανατέμνει τον κύκλο στο
Το εντοπίζεται ως
Η διχοτόμος μιας γωνίας ως γεωμετρικός τόπος γνωστή.
Η βασική παρατήρηση είναι ότι στο τρίγωνο το είναι το παράκεντρο.