mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιούλ 11, 2025 7:34 pm**

: Λόγος για πρόοδο.png (29.5 KiB) Προβλήθηκε 830 φορές

Ο κύκλος

εφάπτεται εσωτερικά στον κύκλο (O,R)

σε σημείο

. Χορδή

του

εφάπτεται στον (K)

.

Αν οι χορδές : AN , NS , SA

, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{r}{R}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιούλ 11, 2025 9:26 pm**

Όπως έδειξα εδώ viewtopic.php?f=22&t=77804&p=375295#p375295

διχοτόμος της $\displaystyle \angle NAS$ .
Έχουμε
$\displaystyle \angle PAK=90^{\circ}-\angle ASN-\angle PAN=90^{\circ}-\angle ASN-\angle PAS=90^{\circ}-\angle APN\left ( \ast \right )$ .
Κτυπώντας με $\left ( \ast \right )$ την $\displaystyle \frac{r}{PA}=\frac{1}{2\cos \angle PAK}$
έχουμε $\displaystyle \frac{r}{PA}=\frac{1}{2\sin \angle APN}$ .
Την ξαναχτυπάμε με $\displaystyle \sin \angle APN=\frac{h_{NS}}{PA}=\frac{\frac{1}{2}h_{NS}\cdot NS}{\frac{1}{2}PA\cdot NS}=\frac{2\left ( ANS \right )}{PA\cdot NS}$
και έχουμε
$\displaystyle r=PA\cdot \frac{1}{2\sin \angle APN}=\frac{PA^{2}\cdot NS}{4\left ( ANS \right )}$ .
Από Ήρωνα
$\displaystyle R=\frac{AN\cdot NS\cdot AS}{4\left ( ANS \right )}$
'Εχουμε
$\displaystyle \frac{r}{R}=\frac{PA^{2}}{AN\cdot AS}$
Καλούμε AN=x

,

,

. Από το θεώρημα της διχοτόμου έχουμε
$\displaystyle \frac{z-PN}{PN}=\frac{y}{x}\Longleftrightarrow PN=\frac{zx}{x+y}$
και $\displaystyle PS=\frac{zy}{x+y}$
Από Stewart στο ANS

με τέμνουσα

έχουμε
$\displaystyle z\left ( PA^{2}+\frac{z^{2}xy}{\left ( x+y \right )^{2}} \right )=\frac{zxy^{2}}{x+y}+\frac{zyx^{2}}{x+y}=zxy$
Επειδή τα

,

είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου έχουμε
$\displaystyle PA^{2}+\frac{\left ( \frac{1}{2}\left ( x+y \right ) \right )^{2}xy}{\left ( x+y \right )^{2}}=xy\Longrightarrow \frac{PA^{2}}{xy}=\frac{3}{4}$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιούλ 12, 2025 5:53 am**

Dimessi έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 11, 2025 9:26 pm
Όπως έδειξα ... , η είναι διχοτόμος της $\displaystyle \angle NAS$ .

: Διχοτόμος.png (31.82 KiB) Προβλήθηκε 777 φορές

Βάζω ένα σχήμα για το παραπάνω λήμμα , το οποίο είναι μια άσκηση που είχε εμφανισθεί αρκετές φορές

παλιότερα στο forum .

Δημήτρη , είναι κρίμα οι εν γένει έξοχες ιδέες σου για τις λύσεις σε γεωμετρικά προβλήματα , να μην συνοδεύονται

από τα αντίστοιχα σχήματα . Πρέπει να αφιερώσεις λίγο χρόνο στην εξάσκηση στο Geogebra

... Με εκτίμηση !

Μια σχετικά σύντομη απόδειξη βρίσκεται εδώ .

mathematica.gr

Λόγος για πρόοδο

Λόγος για πρόοδο

Re: Λόγος για πρόοδο

Re: Λόγος για πρόοδο