mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Αύγ 03, 2025 6:31 am**

: Από σταθερό σημείο 42.png (28.77 KiB) Προβλήθηκε 617 φορές

Ο μπλε κύκλος (O)

και τα σημεία E , N

είναι σταθερά . Φέρουμε μεταβλητή τέμνουσα EPT

. Δείξτε ότι ο κύκλος

(N,T,P)

διέρχεται και από άλλο σταθερό σημείο

και ( με τα δεδομένα του σχήματος ) , υπολογίστε την $\tan\omega$ .

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Αύγ 03, 2025 9:37 am**

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 03, 2025 6:31 am
Από σταθερό σημείο 42.pngΟ μπλε κύκλος και τα σημεία είναι σταθερά . Φέρουμε μεταβλητή τέμνουσα . Δείξτε ότι ο κύκλος

διέρχεται και από άλλο σταθερό σημείο και ( με τα δεδομένα του σχήματος ) , υπολογίστε την $\tan\omega$ .

$EQ \cdot EN = EP \cdot ET = EB \cdot EA = 6 \cdot 12 = 72$ . Αλλά $E{N^2} = E{O^2} + O{N^2} = 16 + 81 = 97$ . Οπότε έχω ταυτόχρονα :

$EQ \cdot EN = 72\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,EN = \sqrt {97}$ και άρα , $\boxed{EQ = \dfrac{{72}}{{\sqrt {97} }} = \dfrac{{72\sqrt {97} }}{{97}}}$ σταθερό , οπότε και το

σταθερό .

: Απο σταθερό σημείο 42.png (32.2 KiB) Προβλήθηκε 600 φορές

Από το σύστημα , $\left\{ \begin{gathered} \dfrac{x}{9} + \dfrac{y}{4} = 1 \hfill \\ {\left( {x - 9} \right)^2} + {y^2} = \dfrac{{{{72}^2}}}{{97}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow Q\left( {x,y} \right) = \left( {\dfrac{{225}}{{97}},\dfrac{{288}}{{97}}} \right)$ οπότε έχω τις συντεταγμένες των ,

O,Q,N

κι έτσι προκύπτει $\boxed{\tan \omega = 4}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Αύγ 03, 2025 10:21 am**

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 03, 2025 6:31 am
Από σταθερό σημείο 42.pngΟ μπλε κύκλος και τα σημεία είναι σταθερά . Φέρουμε μεταβλητή τέμνουσα . Δείξτε ότι ο κύκλος

διέρχεται και από άλλο σταθερό σημείο και ( με τα δεδομένα του σχήματος ) , υπολογίστε την $\tan\omega$ .

Αλλιώς για το δεύτερο ερώτημα. Είναι, $\displaystyle EN = \sqrt {97} ,EQ = \frac{{72}}{{\sqrt {97} }}.$

: Από σταθερό 42.png (21.63 KiB) Προβλήθηκε 593 φορές

$\displaystyle \frac{{EQ}}{{EN}} = \frac{{72}}{{97}} = \frac{{QS}}{4} = \frac{{ES}}{9} = \frac{{9 - OS}}{9} \Rightarrow QS = \frac{{288}}{{97}},OS = \frac{{225}}{{97}} \Rightarrow \tan \varphi = \frac{{32}}{{25}}$

$\displaystyle \tan \omega = \tan (\varphi + \theta ) = \dfrac{{\dfrac{{32}}{{25}} + \dfrac{4}{9}}}{{1 - \dfrac{{128}}{{225}}}} = \frac{{388}}{{97}} \Leftrightarrow$ $\boxed{\tan \omega=4}$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Αύγ 03, 2025 10:22 am**

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 03, 2025 6:31 am
Ο μπλε κύκλος και τα σημεία είναι σταθερά . Φέρουμε μεταβλητή τέμνουσα . Δείξτε ότι ο κύκλος

διέρχεται και από άλλο σταθερό σημείο και ( με τα δεδομένα του σχήματος ) , υπολογίστε την $\tan\omega$ .

.

: apo stathero.png (42.33 KiB) Προβλήθηκε 593 φορές

.
Φέρνουμε την εφαπτομένη

στον δοθέντα κύκλο. Γράφουμε τώρα τον κύκλο που εφάπτεται του δοθέντα στο

και διέρχεται από το

και, τέλος, φέρνουμε την

που τέμνει τον εφαπτόμενο κύκλο στο

. Ισχυρίζομαι ότι το

αυτό είναι το ζητούμενο σταθερό σημείο. Πράγματι, έχουμε

$EN \cdot EQ=ET\cdot EP$ διότι και τα δύο είναι ίσα με EM^2

.

Έπεται ότι τα N, T, P, Q

είναι ομοκυκλικά. Δηλαδή όλοι οι (κόκκινοι) κύκλοι που διέρχονταο από τα N,T,P

επίσης διέρχονται από το

.

(Για το αριθμητικό β) μέρος δεν έχω τίποτα διαφορετικό από τον Νίκο, αλλά κινούμαι στο ίδιο μήκος κύματος. Το αφήνω.)

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Αύγ 03, 2025 11:27 am**

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 03, 2025 10:22 am

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 03, 2025 6:31 am
Ο μπλε κύκλος και τα σημεία είναι σταθερά . Φέρουμε μεταβλητή τέμνουσα . Δείξτε ότι ο κύκλος

διέρχεται και από άλλο σταθερό σημείο και ( με τα δεδομένα του σχήματος ) , υπολογίστε την $\tan\omega$ .
.
apo stathero.png
.
Φέρνουμε την εφαπτομένη στον δοθέντα κύκλο. Γράφουμε τώρα τον κύκλο που εφάπτεται του δοθέντα στο και διέρχεται από το και, τέλος, φέρνουμε την που τέμνει τον εφαπτόμενο κύκλο στο . Ισχυρίζομαι ότι το αυτό είναι το ζητούμενο σταθερό σημείο. Πράγματι, έχουμε

$EN \cdot EQ=ET\cdot EP$ διότι και τα δύο είναι ίσα με .

Έπεται ότι τα είναι ομοκυκλικά. Δηλαδή όλοι οι (κόκκινοι) κύκλοι που διέρχονταο από τα επίσης διέρχονται από το .

(Για το αριθμητικό β) μέρος δεν έχω τίποτα διαφορετικό από τον Νίκο, αλλά κινούμαι στο ίδιο μήκος κύματος. Το αφήνω.)

Γιώργο ωραία η λύση σου για την εφαπτομένη της γωνίας

.

Κ. Λάμπρου η λύση σας είναι πολύ όμορφη και υψηλού επιπέδου επινόησης

.

Μπορεί να δοθεί και με αντιστροφή του μεταβλητού κόκκινου κύκλου στο σταθερό μπλε κύκλο .

Θα γράψω αργότερα σχετικά ,στο GeoGebra

), δίδοντας δυναμικό αρχείο.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Αύγ 03, 2025 11:59 am**

Νίκο, ευχαριστώ για τα καλά σου λόγια.

Θανάση, η ολιγοήμερη απουσία σου από το φόρουμ έγινε αισθητή. Καλώς ήλθες πίσω.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Αύγ 03, 2025 5:30 pm**

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 03, 2025 6:31 am
Από σταθερό σημείο 42.pngΟ μπλε κύκλος και τα σημεία είναι σταθερά . Φέρουμε μεταβλητή τέμνουσα . Δείξτε ότι ο κύκλος

διέρχεται και από άλλο σταθερό σημείο και ( με τα δεδομένα του σχήματος ) , υπολογίστε την $\tan\omega$ .

Μόνο για το δεύτερο ερώτημα

Από το πρώτο ερώτημα αποδείχθηκε ότι

$EQ=\dfrac{72}{\sqrt{97}}$

Aπό το ορθογώνιο τρίγωνο ONE

με ύψος $OM\perp NE,ON^{2}=NM.NE,OE^{2}=ME.NE,OM^{2}=NM.MQ$

Οπότε $NM=\dfrac{16}{\sqrt{97}},ME=\dfrac{81}{\sqrt{97}},OM=\dfrac{36}{\sqrt{97}},tan\omega = \dfrac{OM}{MQ}=4$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Αύγ 03, 2025 7:59 pm**

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 03, 2025 6:31 am
Ο μπλε κύκλος και τα σημεία είναι σταθερά . Φέρουμε μεταβλητή τέμνουσα . Δείξτε ότι ο κύκλος

διέρχεται και από άλλο σταθερό σημείο και ( με τα δεδομένα του σχήματος ) , υπολογίστε την $\tan\omega$ .

.

: apo stathero 2.png (48.59 KiB) Προβλήθηκε 536 φορές

.

Στο ίδιο μήκος κύματος, παραλλαγή, της λύσης στο ποστ #4, αλλά ευκολότερη:

Γράφουμε την διάμετρο

του δοθέντα κύκλου η οποία διέρχεται από το

. Γράφουμε τον (μαύρο) κύκλο NAB

και φέρνουμε την

, η οποία τον τέμνει στο

. Ισχυρίζομαι ότι το

είναι το ζητούμενο σταθερό σημείο. Πράγματι,

Από τον αρχικό (μπλε) κύκλο έχουμε από δύναμη σημείου $ET \cdot EP= EA \cdot EB$ , και από τον μαύρο κύκλο έχουμε $EA\cdot EB = EN \cdot EQ$ .

Άρα $ET \cdot EP= EN \cdot EQ$ , που σημαίνει ότι τα N, T, P, Q

είναι ομοκυκλικά. Άρα ο (κόκκινος) κύκλος από τα N,T, P

διέρχεται και από το

.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Αύγ 03, 2025 10:46 pm**

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 03, 2025 6:31 am
Από σταθερό σημείο 42.pngΟ μπλε κύκλος και τα σημεία είναι σταθερά . Φέρουμε μεταβλητή τέμνουσα . Δείξτε ότι ο κύκλος

διέρχεται και από άλλο σταθερό σημείο και ( με τα δεδομένα του σχήματος ) , υπολογίστε την $\tan\omega$ .

Ας είναι

το εξωτερικό σημείο ομοιότητας των δύο κύκλων , $\Omega$ και $\left( {O,R} \right)$ .

Αντιστρέφω με πόλο

τον κύκλο, $\Omega$ και δύναμη αντιστροφής $S{T^2}$ και ο κύκλος $\Omega$ αντιστρέφεται στον

σταθερό κύκλο $\left( {O,R} \right)$ .( Ο διακεκομμένος κόκκινος είναι ο κύκλος αντιστροφής ).

: Σταθερό σημείο 42.png (55.18 KiB) Προβλήθηκε 515 φορές

Φέρνω το σταθερό εφαπτόμενο τμήμα

. Η αντιστροφή του $\left( {O,R} \right)$ με πόλο

και δύναμη αντιστροφής $E{C^2}$

Αφήνει αναλλοίωτο τον $\left( {O,R} \right)$ . Έτσι έχω: $E{C^2} = EP \cdot ET = EQ \cdot EN \Rightarrow \boxed{EQ = \frac{{E{C^2}}}{{EN}}}$ . Συνεπώς το

είναι σταθερό σημείο ..

Δεν είναι καλλίτερη από τις προηγούμενες . Απλώς είναι μια λύση ακόμα.

Παρατηρήσεις

Για την πρώτη αντιστροφή

Στο πρώτο από τ αριστερά εργαλείο κάνετε αριστερό κλίκ . Ανοίγει ένα μενού με πολλά εργαλεία. το

έκτο από πάνω προς τα κάτω είναι: "αντιστροφή κύκλου" το επιλέγετε . Μετά δείχνεται κατά σειρά :

Το σημείο , τον κύκλο Ω ( κόκκινο) και το ευθύγραμμο τμήμα , .

Παρόμοια για την δεύτερη αντιστροφή

Μπορείτε και από το μενού του GeoGebra αλλά δεν σας δίνει γραμμοσκιάσεις .

Εδώ πρώτα γράφεται τον κύκλο αντιστροφής και μετά δείχνεται τη γραμμή που θα αντιστρέψετε .

mathematica.gr

Από σταθερό σημείο 42

Από σταθερό σημείο 42

Re: Από σταθερό σημείο 42

Re: Από σταθερό σημείο 42

Re: Από σταθερό σημείο 42

Re: Από σταθερό σημείο 42

Re: Από σταθερό σημείο 42

Re: Από σταθερό σημείο 42

Re: Από σταθερό σημείο 42

Re: Από σταθερό σημείο 42