mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Απρ 23, 2026 9:45 am**

: Εξαιρετική συνευθειακότητα.png (19.42 KiB) Προβλήθηκε 167 φορές

Σε τρίγωνο ABC

, η κάθετος της

στο

, τέμνει την μεσοκάθετο της

στο

.

Γράφουμε τον κύκλο (K , KA)

, προς τον οποίο φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα

.

Δείξτε ότι τα σημεία A , S , M

είναι συνευθειακά . (

είναι φυσικά το μέσο της

) .

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Απρ 23, 2026 10:27 am**

Υποθέτουμε ότι το τρίγωνο είναι οξυγώνιο. Άλλωστε αυτό προτείνει και το σχήμα της εκφώνησης.

Έστω ότι η εφαπτομένη

τέμνει την

στο σημείο

. Τότε, τα

,

,και

είναι οι προβολές του

στις πλευρές

,

και

αντίστοιχα. Αρκεί να αποδείξουμε ότι το

ανήκει στον περιγεγραμμένο κύκλο $\omega$ του τριγώνου PBC

.
Είναι φανερό ότι KA=KS

. Επομένως, το

ανήκει στην εξωτερική διχοτόμο της γωνίας BPC

. Δηλαδή, το

είναι το σημείο
τομής της εξωτερικής διχοτόμου της γωνίας BPC

και της μεσοκαθέτου της πλευράς

, οπότε ανήκει στον $\omega$ .
Από το θεώρημα Wallace - Simson τα σημεία

,

,και

ανήκουν στην ίδια ευθεία.

: simson.png (31.67 KiB) Προβλήθηκε 159 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Απρ 23, 2026 10:34 am**

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Απρ 24, 2026 10:02 am**

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 23, 2026 9:45 am
Εξαιρετική συνευθειακότητα.pngΣε τρίγωνο , η κάθετος της στο , τέμνει την μεσοκάθετο της στο .

Γράφουμε τον κύκλο , προς τον οποίο φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα .

Δείξτε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά . ( είναι φυσικά το μέσο της ) .

Τα τετράπλευρα MSKC, KABM

είναι εγγράψιμα σε ίσους κύκλους αφού οι ίσες χορδές BM, MC

φαίνονται από την κορυφή

υπό ίσες γωνίες.

: Εξαιρετική συνευθειακότητα.png (27.22 KiB) Προβλήθηκε 107 φορές

$\displaystyle C{S^2} = C{K^2} - K{S^2} = K{B^2} - K{A^2} = A{B^2} \Leftrightarrow CS = AB \Leftrightarrow S\widehat KC = A\widehat MB$

Αλλά λόγω του εγγράψιμου MSKC

είναι $S\widehat KC=S\widehat MB,$ άρα $\boxed{A\widehat MB=S\widehat MB}$ και το ζητούμενο έπεται.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Απρ 25, 2026 1:23 am**

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 23, 2026 9:45 am
Εξαιρετική συνευθειακότητα.pngΣε τρίγωνο , η κάθετος της στο , τέμνει την μεσοκάθετο της στο .

Γράφουμε τον κύκλο , προς τον οποίο φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα .

Δείξτε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά . ( είναι φυσικά το μέσο της ) .

Θα αποδείξουμε ότι $\dfrac{DS}{SC} . \dfrac{CM}{MB} . \dfrac{AB}{AD}=1 \Leftrightarrow \dfrac{AD}{CS}.1. \dfrac{AB}{AD}=1 \Leftrightarrow AB=CS$

Η τελευταία όμως είναι αληθής αφού προφανώς τα ορθογώνια τρίγωνα KAB,KCS

είναι ίσα

: Εξαιρετική συνευθειακότητα.png (36.55 KiB) Προβλήθηκε 68 φορές

mathematica.gr

Εξαιρετική συνευθειακότητα

Εξαιρετική συνευθειακότητα

Re: Εξαιρετική συνευθειακότητα

Re: Εξαιρετική συνευθειακότητα

Re: Εξαιρετική συνευθειακότητα

Re: Εξαιρετική συνευθειακότητα