mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Νοέμ 19, 2017 5:28 pm**

Ορίζουμε ως p(n)

τον μέγιστο πρώτο παράγοντα του

. Να προσδιόρισετε τις τριάδες θετικών ακεραίων (x,y,z)

που αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου και ικανοποιούν την σχέση $p(xyz) \le 3$ .

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Δεκ 26, 2017 8:37 pm**

Ουσιαστικά θέλουμε το γινόμενο των αριθμών x=y-a,y,z=y+a

να περιέχει μόνο δυνάμεις του

και του

. Άρα θέλουμε να λύσουμε τη διοφαντική:

$(y-a)y(y+a)=2^a\cdot 3^b$ και $a,b\in\mathbb{Z}_{\geq0}$ .

Οι λύσεις που βρήκα (με αρκετές πράξεις) και με θεωρία που σίγουρα ξεφεύγει από το επίπεδο του Θαλή/Ευκλείδη είναι οι εξής (έχω λάβει υπόψη μόνο τις αύξουσες αριθμητικές προόδους. Διαφορετικά προσθέστε στα ζεύγη των λύσεων και τις (z,y,x)

).

$(x,y,z)=\left(3^l,3^l,3^l\right), \ \left(3^l,2\cdot 3^l, 3^{l+1}\right), \left(2^{k+1}\cdot 3^l, 2^k\cdot 3^{l+1}, 2^{k+2}\cdot 3^l\right), \left(2^{k+1}\cdot 3^l, 2^{k+2}\cdot 3^l, 2^{k+1}\cdot 3^{l+1}\right)$ με $k,l\in\mathbb{Z}_{\geq0}$ .

Επειδή οι περιπτώσεις είναι πάρα πολλές φοβάμαι μήπως έχω ξεχάσει κάποια. Αν τα παραπάνω είναι σωστά τότε πείτε μου να βάλω τη λύση μου (χωρίς τις πολλές λεπτομέρειες για να μην κουράσω τον αναγνώστη που μπορεί να τις ολοκληρώσει σχετικά εύκολα).

Αλέξανδρος

mathematica.gr

Από Βρετανία

Από Βρετανία

Re: Από Βρετανία