mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Σεπ 11, 2021 12:04 pm**

Ο λόγος ενός τριψήφιου φυσικού αριθμού προς το άθροισμα των ψηφίων του είναι ακέραιος αριθμός.
α) Μπορεί αυτός ο λόγος να ισούται με

;
β) Ποια είναι η ελάχιστη τιμή που μπορεί να πάρει αυτός ο λόγος, αν το πρώτο ψηφίο του τριψήφιου αριθμού είναι ίσο με

;

Πηγή: Ενιαία Κρατική Εξέταση, Ρωσία 2021.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Σεπ 12, 2021 9:06 pm**

Για το α)
έστω ο τριψήφιος είναι ο αβγ (α = 1 ως 9, β και γ= 0 ως 9)που μπορεί να γραφτεί 100*α+10*β+γ. και ο λόγος $\frac{100\alpha +10\beta +\gamma }{\alpha +\beta +\gamma }=84= > 100\alpha +10\beta +\gamma =84\alpha +84\beta +84\gamma = > 16\alpha =74\beta +83\gamma$

Η μεγαλύτερη τιμή που μπορεί να πάρει το α είναι 9, άρα το αριστερό μέρος της ισότητας μπορεί να είναι 144.
Όμως το αριστερό μέρος δεν μπορεί να είναι ίσο με 144 για όποια τιμή και αν πάρουν τα β και γ.
Μετά από πρ. μήνυμα του κ. Λάμπρου συμπληρώνω την λύση.
Για α=9 που είναι ο μεγαλύτερος αριθμός που μπορεί να πάρει τα β & γ μπορούν να είναι 0 ή 1 γιατί αν κάποιο είναι 2 τότε το άθροισμα θα είναι μεγαλύτερο του 144.Αν είναι και τα δύο 1, πάλι το άθροισμα είναι μεγαλύτερο. Οπότε ή είναι 0 και τα δύο ( άτοπο γιατί το 16α με α διάφορο του 0 δεν μπορεί να κάνει 0) ή το 1 0 και το άλλο 1. Πάλι όμως είναι άτοπο γιατί το 16α δεν μπορεί να είναι ίσο , ούτε με το 74, ούτε με το 83 για οποιαδήποτε τιμή του α.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Σεπ 12, 2021 11:14 pm**

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 11, 2021 12:04 pm
Ο λόγος ενός τριψήφιου φυσικού αριθμού προς το άθροισμα των ψηφίων του είναι ακέραιος αριθμός.
α) Μπορεί αυτός ο λόγος να ισούται με ;
β) Ποια είναι η ελάχιστη τιμή που μπορεί να πάρει αυτός ο λόγος, αν το πρώτο ψηφίο του τριψήφιου αριθμού είναι ίσο με ;

Ας δούμε λοιπόν το β).

Απάντηση:

.

Πράγματι,

$\displaystyle{\dfrac {400+10b+c}{4+b+c} = \dfrac {360 -9c}{4+b+c} +10 \ge \dfrac {360 -81}{4+9+9} +10 = \dfrac {279}{22} +10 >22,5}$

Οπότε το κλάσμα (ως ακέραιος από τα δεδομένα) είναι $\ge 23$ .

α) Θα δούμε ότι τελικά η ελάχιστη τιμή δεν μπορεί να είναι

. Πράγματι, για τον

έπρεπε να υπάρχουν b,c

με

$\displaystyle{ 400+10b+c = 23(4+b+c)}$ , άρα $\displaystyle{308 = 13b+22c }$ . Άρα

άρτιος και άρα $\displaystyle{308 \le 13\times 8 + 22\times 9 = 302}$ , άτοπο.

β) Άρα το κάτω φράγμα είναι $\ge 24$ . Θα δούμε ότι ούτε το

μας κάνει. Αλλιώς

$\displaystyle{ 400+10b+c = 23(4+b+c)}$ , άρα $\displaystyle{304= 14b+23c \,(*) }$ . Άρα

άρτιος και άρα $\displaystyle{304 \le 14\times 8 + 23\times 8 }$ , που σημαίνει

$120\le 14b$ . Άρα b>8

, δηλαδή

. Αλλά τότε η (*)

δίνει $304= 14\times 9 + 23c$ , ή $c= \dfrac {178}{23}$ , που δεν είναι ακέραιος. Άτοπο.

γ) Δοκιμάζουμε τον

. Είναι τότε $\displaystyle{ 400+10b+c = 25(4+b+c)}$ , άρα $\displaystyle{300= 15b+24c \,(**) }$ . Άρα

πολλαπλάσιο του

οπότε η

δίνει $\displaystyle{300\le 15b+24\times 5 \le 15\times 9 +24\times 5 = 255}$ , άτοπο.

δ) Πάμε στο

. Εδώ είναι καλά τα νέα αφού $\displaystyle{\dfrac {468}{4+6+8} = 26}$ . Τελειώσαμε.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Σεπ 13, 2021 1:40 am**

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 11, 2021 12:04 pm
Ο λόγος ενός τριψήφιου φυσικού αριθμού προς το άθροισμα των ψηφίων του είναι ακέραιος αριθμός.
α) Μπορεί αυτός ο λόγος να ισούται με ;
β) Ποια είναι η ελάχιστη τιμή που μπορεί να πάρει αυτός ο λόγος, αν το πρώτο ψηφίο του τριψήφιου αριθμού είναι ίσο με ;

Πηγή: Ενιαία Κρατική Εξέταση, Ρωσία 2021.

Γράφω πλήρη λύση του α) (η λύση του Φώτη εξετάζει μόνο την περίπτωση a=9

).

Έστω $\dfrac {100a+10b+c}{a+b+c}=84$ (όπου $a\ne 0$ και, εννοείται, $a\le 9$ ). Θα βγάλουμε άτοπο. Πράγματι, σε αυτή την περίπτωση είναι 100a+10b+c = 84(a+b+c)

, άρα $16a = 74b+83c\, (*)$ . Δεν μπορεί c=0

γιατί τότε 16a = 74b

άρα $b\ne 0$ . Έτσι 8a= 37b

και άρα

άτοπο αφού $a\le 9$ . Από την (*)

έχουμε τότε ότι

(μη μηδενικός) άρτιος αριθμός, άρα

$16a = 74b+83c \ge 83c\ge 83\times 2$ , οπότε $a\ge \dfrac {83\times 2}{16} >10$ , άτοπο. Τελειώσαμε

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Σεπ 13, 2021 4:22 pm**

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 11, 2021 12:04 pm
Ο λόγος ενός τριψήφιου φυσικού αριθμού προς το άθροισμα των ψηφίων του είναι ακέραιος αριθμός.
α) Μπορεί αυτός ο λόγος να ισούται με ;
β) Ποια είναι η ελάχιστη τιμή που μπορεί να πάρει αυτός ο λόγος, αν το πρώτο ψηφίο του τριψήφιου αριθμού είναι ίσο με ;

Έκανα λίγο ψάξιμο, με βοηθό κάθε τόσο το κομπιουτεράκι μου, για να δω τι άλλο θα μπορούσε να μπει στην θέση του

. Μιλάμε για ακέραιο.

Πρώτα απ΄ όλα η μέγιστη τιμή του $\dfrac {100a+10b+c}{a+b+c}$ είναι 100

αφού $\dfrac {100a+10b+c}{a+b+c} \le \dfrac {100a+100b+100c}{a+b+c} =100$ , με ισότητα για καθέναν από τους $100,\, 200, \,300,\,...\,, \, 900$ .

Με συλογισμό όπως στο ποστ #3 βλέπουμε ότι ο εν λόγω λόγος δεν μπορεί να είναι ο

. Υπάρχουν και άλλα παραδείγματα αλλά αναφέρω προς την θετική κατεύθυνση ότι, αντιθέτως, μπορούμε τον

από την ισότητα

$\dfrac {801}{8+0+1} =89$ . 'Αλλους που μπορούμε είναι

$\dfrac {910}{9+1+0} =91$ , $\dfrac {810}{8+1+0} =90$ , $\dfrac {902}{9+0+2} =82$ , $\dfrac {720}{7+2+0} =80$ , $\dfrac {711}{7+1+1} =79$ , $\dfrac {702}{7+0+2} =78$ , $\dfrac {912}{9+1+2} =76$ , $\dfrac {704}{7+0+4} =64$ , και λοιπά.

mathematica.gr

Λόγος τριψήφιου αριθμού προς το άθροισμα των ψηφίων του

Λόγος τριψήφιου αριθμού προς το άθροισμα των ψηφίων του

Re: Λόγος τριψήφιου αριθμού προς το άθροισμα των ψηφίων του

Re: Λόγος τριψήφιου αριθμού προς το άθροισμα των ψηφίων του

Re: Λόγος τριψήφιου αριθμού προς το άθροισμα των ψηφίων του

Re: Λόγος τριψήφιου αριθμού προς το άθροισμα των ψηφίων του