mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Αύγ 25, 2024 8:12 am**

: Παράγωγο τρίγωνο.png (23.98 KiB) Προβλήθηκε 380 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC

, είναι

. Στις πλευρές του AB , BC , CA ,

θεωρούμε σημεία T , P , S

αντίστοιχα , τέτοια ώστε : AT=BP=CS=d , (0<d<6)

.

α) Για ποιο

το τρίγωνο SPT

καθίσταται ορθογώνιο ;

β) Για ποιο

το εμβαδόν του τριγώνου SPT

γίνεται ελάχιστο ;

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Αύγ 25, 2024 10:39 am**

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 25, 2024 8:12 am
Παράγωγο τρίγωνο.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , είναι . Στις πλευρές του

θεωρούμε σημεία αντίστοιχα , τέτοια ώστε : .

α) Για ποιο το τρίγωνο καθίσταται ορθογώνιο ;

β) Για ποιο το εμβαδόν του τριγώνου γίνεται ελάχιστο ;

Θεωρώ σύστημα συντεταγμένων με αρχή το

και άξονα τετμημένων την

. Έστω $T\left( {t,0} \right)\,\,\,,\,\,0 < t < 6$ .

Εύκολα έχω : $S\left( {0,6 - t} \right)$ . Ενώ από την λύση του συστήματος της ευθείας , $BC:\,\,\dfrac{x}{8} + \dfrac{y}{6} = 1$ και του κύκλου ,

$\left( {B,t} \right)\,\,:\,\,{\left( {x - 8} \right)^2} + {y^2} = {t^2}$ έχω , $P\left( {\dfrac{{4\left( {10 - t} \right)}}{5},\dfrac{{3t}}{5}} \right)$ και έτσι : $\overrightarrow {TS} = \left( { - t,6 - t} \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\overrightarrow {TP} = \left( {\dfrac{{40 - 9t}}{5},\dfrac{{3t}}{5}} \right)$ .

: Παράγωγο τρίγωνο_Αναλυτική.png (13.46 KiB) Προβλήθηκε 357 φορές

Από τη συνθήκη καθετότητας παίρνω το εσωτερικό τους γινόμενο μηδέν και προκύπτει : $\boxed{t = \dfrac{{11}}{3}}$

Ενώ από το γνωστό τύπο του εμβαδού με τη βοήθεια διανυσμάτων έχω $\left( {TPS} \right) = f\left( t \right) = \dfrac{{6{t^2} - 47t + 120}}{5}$ που παρουσιάζει ελάχιστο στο ,

${t_0} = \dfrac{{47}}{{12}}\,\,\,\,$ με $\boxed{f\left( {\dfrac{{47}}{{12}}} \right) = \dfrac{{671}}{{120}} = {{\left( {TPS} \right)}_{\min }}}$ .

mathematica.gr

Παράγωγο τρίγωνο

Παράγωγο τρίγωνο

Re: Παράγωγο τρίγωνο