mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιουν 23, 2025 5:04 pm**

: Κάποτε θα γίνουν ίσες.png (8.51 KiB) Προβλήθηκε 1174 φορές

Σημείο

κινείται στο τμήμα

στο ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος . Βρείτε

με όποιον τρόπο θέλετε την θέση του

, για την οποία είναι : $\widehat{ASP}=\widehat{CSP}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιουν 23, 2025 6:18 pm**

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 23, 2025 5:04 pm
Κάποτε θα γίνουν ίσες.pngΣημείο κινείται στο τμήμα στο ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος . Βρείτε

με όποιον τρόπο θέλετε την θέση του , για την οποία είναι : $\widehat{ASP}=\widehat{CSP}$ .

.
H

είναι διχοτόμος της $\widehat{ASC}$ , οπότε $SA:SC=2:6\, (*)$ και το

βρίσκεται στον κύκλου του Απολλωνίου των σημείων

που ικανοποιούν την (*)

.

Γράφουμε τον εν λόγω κύκλο. Συγκεκριμένα, έχει διάμετρο την

, όπου

το σημείο εξωτερικά της

με

(δηλαδή βρίσκεται σε απόσταση

από το

). Εκεί που ο κύκλος τέμνει την

είναι το ζητούμενο σημείο

.
.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιουν 23, 2025 6:41 pm**

Η πλέον ενδεδειγμένη λύση είναι του Μιχάλη με τη χρήση του Απολλώνιου κύκλου.

Αποδεικνύεται πάντως ότι $\dfrac{SP}{SB}=\dfrac{3}{7}.$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιουν 23, 2025 11:02 pm**

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 23, 2025 5:04 pm
Κάποτε θα γίνουν ίσες.pngΣημείο κινείται στο τμήμα στο ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος . Βρείτε

με όποιον τρόπο θέλετε την θέση του , για την οποία είναι : $\widehat{ASP}=\widehat{CSP}$ .

Γιατί ο θανάσης πήρε ειδικό τρίγωνο ; Άραγε η πρόταση ισχύει σε τυχαίο τρίγωνο ;

Έστω τυχαίο τρίγωνο ABC

και ένα εσωτερικό σημείο

, του τμήματος

αλλά όχι το μέσο του .

Η πολική του

( η οποιουδήποτε άλλου σημείου της

) ως προς τις ευθείες $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC$ είναι ευθεία διερχομένη δια του

και μη παράλληλη στην

, συνεπώς θα τέμνει την ευθεία

σε σημείο

,

: Κάποτε θα γίνουν ίσες_γενίκευση.png (30.89 KiB) Προβλήθηκε 1120 φορές

Η δέσμη $\left( {AB\,\,,\,\,AC\backslash AP,\,\,AJ} \right)$ είναι αρμονική και συνεπώς αν η προβολή του

στην

είναι το σημείο

,

Τότε : $\widehat {CSA} = \widehat {ASB}$ ( $\widehat {a_1^{}} = \widehat {a_2^{}}$ )

Πάλι βεβαίως έχουμε Απολλώνιο κύκλο, χωρίς συγκεκριμένα νούμερα.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιουν 24, 2025 2:30 am**

Doloros έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 23, 2025 11:02 pm

Γιατί ο Θανάσης πήρε ειδικό τρίγωνο ; Άραγε η πρόταση ισχύει σε τυχαίο τρίγωνο ;

Έστω τυχαίο τρίγωνο και ένα εσωτερικό σημείο , του τμήματος αλλά όχι το μέσο του .

: Κάποτε λύση.png (10.67 KiB) Προβλήθηκε 1102 φορές

Έστω

το συμμετρικό του

ως προς άξονα την ευθεία

. Η

τέμνει την

στο ζητούμενο

.

Στο τρίγωνο του αρχικού σχήματος μπορούμε να εργαστούμε και με συντεταγμένες , ( "με όποιον τρόπο θέλετε" ) .

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιουν 24, 2025 9:07 am**

Doloros έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 23, 2025 11:02 pm
Άραγε η πρόταση ισχύει σε τυχαίο τρίγωνο ;

$\,$
Αλλιώς (το γενικό): Φέρνουμε την μεσοκάθετο της

και έστω ότι τέμνει την

στο

. Γράφουμε τον κύκλο BCD

. Ο κύκλος αυτός τέμνει την

στο ζητούμενο σημείο

διότι το

βλέπει υπό ίσες γωνίες τα ίσα τόξα $\overset{\frown }{BD}, \, \overset{\frown }{CD}$
$\,$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιουν 24, 2025 10:16 am**

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 23, 2025 5:04 pm
Κάποτε θα γίνουν ίσες.pngΣημείο κινείται στο τμήμα στο ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος . Βρείτε

με όποιον τρόπο θέλετε την θέση του , για την οποία είναι : $\widehat{ASP}=\widehat{CSP}$ .

Μία υπολογιστική.

Θέτω AS=x

και λόγω της διχοτόμου είναι SC=3x.

Από τον τύπο της διχοτόμου SP^2=3x^2-12.

: Κάποτε θα γίνουν ίσες.png (12.88 KiB) Προβλήθηκε 1072 φορές

Είναι ακόμα BP^2=40

και με $\rm Stewart$ στο ABP

βρίσκω $\boxed{x=\sqrt{\frac{26}{5}}}$ Έτσι εντοπίζεται το σημείο

Στη συνέχεια εύκολα αποδεικνύεται ότι $\boxed{\frac{{SP}}{{BP}} = \frac{3}{{10}}}$ ή $\boxed{\frac{{SP}}{{SB}} = \frac{3}{7}}$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιουν 24, 2025 1:10 pm**

: Κάποτε καρτεσιανή λύση.png (7.51 KiB) Προβλήθηκε 1060 φορές

Η ευθεία

έχει εξίσωση : y=-3x+6

. Επίσης από θεώρημα διχοτόμου είναι : SC^2=9SA^2

.

Δηλαδή : (x-8)^2+(6-3x)^2=9(x^2+(6-3x)^2)

, με δεκτή λύση το σημείο : $S(\dfrac{7}{5} , \dfrac{9}{5})$ .

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιουν 24, 2025 3:33 pm**

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 23, 2025 5:04 pm
Κάποτε θα γίνουν ίσες.pngΣημείο κινείται στο τμήμα στο ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος . Βρείτε

με όποιον τρόπο θέλετε την θέση του , για την οποία είναι : $\widehat{ASP}=\widehat{CSP}$ .

Όλες οι παραπάνω λύσεις είναι ωραίες, αλλά αυτή που μου άρεσε περισσότερο είναι η λύση στο # 6 (του Μιχάλη Λάμπρου)

Από θ.διχοτόμου ΄,αν AS=m