mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιαν 20, 2026 10:01 am**

: Νεότοπος.png (17.98 KiB) Προβλήθηκε 171 φορές

Στον ημιάξονα

είναι σταθερά τα σημεία A , B

. Μεταβλητή ημιευθεία του πρώτου τεταρτημορίου

τέμνει τα τεταρτοκύκλια με κέντρο

και ακτίνες

και

στα σημεία C , D

αντίστοιχα .

Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του σημείου τομής

των τμημάτων AD , BC

.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιαν 20, 2026 11:07 am**

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 20, 2026 10:01 am
Νεότοπος.pngΣτον ημιάξονα είναι σταθερά τα σημεία . Μεταβλητή ημιευθεία του πρώτου τεταρτημορίου

τέμνει τα τεταρτοκύκλια με κέντρο και ακτίνες και στα σημεία αντίστοιχα .

Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του σημείου τομής των τμημάτων .

.

: νεότοπος 2.png (41.25 KiB) Προβλήθηκε 142 φορές

.
Από Μενέλαο συον OAD

με διατέμνουσα την BSC

έχουμε

$1=\dfrac {DC}{CO}\cdot \dfrac {OB}{BA}\cdot \dfrac {AS}{SD}= \dfrac {2}{3}\cdot \dfrac {9}{6}\cdot \dfrac {AS}{SD}$ Άρα AS=SD

, δηλαδή το

είναι το μέσον της

.

Έστω

το μέσον της

. Τότε $MS= \dfrac {1}{2} OD = \dfrac {5}{2} =$ σταθερό μήκος. Άρα το

βρίσκεται σε (μέρος) κύκλου κέντρου

και ακτίνας $\dfrac {5}{2}$ (ο κόκκινος). Ακριβέστερα, επειδή το

φτάνει μόνο μέχρι το

, το αντίστοιχο

έχει ένα τελικό όριο στον κόκκινο κύκλο (είναι ο βόρειος πόλος του).

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιαν 20, 2026 1:38 pm**

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 20, 2026 10:01 am
Νεότοπος.pngΣτον ημιάξονα είναι σταθερά τα σημεία . Μεταβλητή ημιευθεία του πρώτου τεταρτημορίου

τέμνει τα τεταρτοκύκλια με κέντρο και ακτίνες και στα σημεία αντίστοιχα .

Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του σημείου τομής των τμημάτων .

Θέτω $\displaystyle C(3\cos \theta ,3\sin \theta ),D(5\cos \theta ,5\sin \theta ), S(x,y)$ και παίρνω τις ευθείες

$\displaystyle BC:y = \frac{{(x - 9)\sin \theta }}{{\cos \theta - 3}}$ ΚΑΙ $\displaystyle AD:y = \frac{{5(x - 3)\sin \theta }}{{5\cos \theta - 3}}$

: Νεότοπος.K.png (19.05 KiB) Προβλήθηκε 122 φορές

Από τις παραπάνω εξισώσεις βρίσκω $\displaystyle \cos \theta = \frac{{2x - 3}}{5} \Rightarrow \sin \theta = \frac{{2\sqrt { - {x^2} + 3x + 4} }}{5}$

Αντικαθιστώντας τώρα σε μία από τις εξισώσεις των ευθειών BC, AD

παίρνω την εξίσωση του γεωμετρικού τόπου,

$\boxed{y = \sqrt { - {x^2} + 3x + 4}}$ κι επειδή $\displaystyle 0 \le \cos \theta \le 1,$ θα είναι $\boxed{\frac{3}{2}\le x\le 4}$

Στο σχήμα ο γεωμετρικός τόπος είναι το κόκκινο τμήμα του κύκλου.

mathematica.gr

Νεότοπος

Νεότοπος

Re: Νεότοπος

Re: Νεότοπος