Σελίδα 1 από 1

Ρόμβος και σταθερό γινόμενο!

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Δεκ 29, 2018 2:10 pm
από matha
Έστω ρόμβος \displaystyle{ABCD} και \displaystyle{(\ell )} η εφαπτομένη σε τυχαίο σημείο του εγγεγραμμένου κύκλου. Αυτή τέμνει τις πλευρές \displaystyle{AB,BC} στα σημεία \displaystyle{E,F,} αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι το γινόμενο \displaystyle{AE\cdot CF} είναι ανεξάρτητο από την \displaystyle{(\ell ).}

Re: Ρόμβος και σταθερό γινόμενο!

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Δεκ 29, 2018 3:40 pm
από rek2
Ας είναι L το σημείο επαφής στην AD

Από Brianchon οι AC, LF, ED συντρέχουν, έστω στο I. Φανερά από τις παραλληλίες είναι:

\dfrac{AE}{DC} = \dfrac{AI}{IC}

\dfrac{FC}{AL} = \dfrac{CI}{AI}

Πολλαπλασιάζουμε, τελειώσαμε.:-)

Re: Ρόμβος και σταθερό γινόμενο!

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 30, 2018 9:38 am
από george visvikis
Απομονώνω το σχήμα.
Ρόμβος και....png
Ρόμβος και....png (13.75 KiB) Προβλήθηκε 725 φορές
\displaystyle \frac{{AE}}{{OC}} = \frac{{OA}}{{CF}}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{OA = OC} AE \cdot CF = O{A^2}

Re: Ρόμβος και σταθερό γινόμενο!

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 30, 2018 11:57 am
από vittasko
Καλές γιορτές με υγεία και χαρά στις οικογένειές σας για το 2019.

Το έχουμε ξαναδεί Εδώ, ως Λήμμα για την πρωτοεμφανισθείσα (;) απόδειξη του Θεωρήματος Newton (b).

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Θάνο, αν θέλεις μας λες την πηγή της πρότασης που έβαλες, αν δεν είναι δική σου έμπνευση. Θεωρούσα ως προσωπική κατασκευή αυτό το Λήμμα και σήμερα διαπιστώνω ( ακόμα μια φορά ) ότι "Nothing is new under the Geometry sun".

Re: Ρόμβος και σταθερό γινόμενο!

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 30, 2018 7:48 pm
από matha
vittasko έγραψε:
Κυρ Δεκ 30, 2018 11:57 am

ΥΓ. Θάνο, αν θέλεις μας λες την πηγή της πρότασης που έβαλες, αν δεν είναι δική σου έμπνευση. Θεωρούσα ως προσωπική κατασκευή αυτό το Λήμμα και σήμερα διαπιστώνω ( ακόμα μια φορά ) ότι "Nothing is new under the Geometry sun".
Κώστα, εύχομαι καλή χρονιά σε σένα και στην οικογένεια!

Το παραπάνω θέμα είναι το δεύτερο πρόβλημα του διαγωνισμού Tuymaada Olympiad του έτους 2000.
Περισσότερες λεπτομέρειες υπάρχουν εδώ.

Re: Ρόμβος και σταθερό γινόμενο!

Δημοσιεύτηκε: Δευ Δεκ 31, 2018 9:24 am
από S.E.Louridas
Καλημέρα και Χρόνια Πολλά και Καλά στην εκλεκτή παρέα.

Έστω K το κέντρο του εγγεγραμμένου μας κύκλου. Αν θεωρήσουμε το συμμετρικό T του E ως προς την BK, τότε εύκολα παίρνουμε AE=CT και \angle CKT = \angle KFC = \frac{1}{2}\angle EFC. Άρα η CK είναι εφαπτόμενη του περιεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο FKT.
Έτσι έχουμε: AE \cdot CF = CT \cdot CF = K{C^2},\;ct.


(*)
vittasko έγραψε:
Κυρ Δεκ 30, 2018 11:57 am
"Nothing is new under the Geometry sun".
Η ζεστασία του "Γεωμετρικού" ήλιου Κώστα ήταν είναι και θα είναι μοναδική, απολύτως αναγκαία, αναλλοίωτη και αναντικατάστατη, και σίγουρα είναι και αθάνατη,..., ακόμη και για εκείνους που είναι ενάντια στην "ηλιοθεραπεία", αφού σε αυτό συνηγορεί ο ίδιος Θεός, καθότι:...Αεί ο Θεός ο Μέγας Γεωμετρεί).