mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Δεκ 24, 2019 5:45 pm**

: Capture.PNG (47.77 KiB) Προβλήθηκε 1045 φορές

Έστω

το περίκεντρο τριγώνου ABC

και $D\equiv CO\cap AB,F\equiv BO\cap AC,E\equiv DF\cap BC$
Αν η συμμετροδιάμεσος

του

τέμνει τον ( A,B,C)

στο

να δείξετε ότι $KE\perp KA$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Δεκ 24, 2019 6:22 pm**

Ας είναι

το αντιδιαμετρικό του

και

το σημείο τομής της EA'

με τον κύκλο. Ισχύει A'(BC/AE)=-1

άρα προβάλλοντας από το

στον κύκλο ABK'C

αρμονικό. Επομένως,

συμμετροδιάμεσος, αυτό που θέλαμε.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Δεκ 24, 2019 6:36 pm**

JimNt. έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 24, 2019 6:22 pm
Ας είναι το αντιδιαμετρικό του και το σημείο τομής της με τον κύκλο. Ισχύει άρα προβάλλοντας από το στον κύκλο αρμονικό. Επομένως, συμμετροδιάμεσος, αυτό που θέλαμε.

Κάτι τέτοιο εννονούσα με το απλό

,[είχα ξεχάσει την γνωστή ιδιότητα του αρμονικού τετραπλεύρου ότι αν

τυχόν σημείο του κύκλου που ορίζει τότε η δέσμη P.(A,B,C,D)

είναι αρμονική]

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Δεκ 24, 2019 9:19 pm**

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 24, 2019 5:45 pm
Capture.PNG

Έστω το περίκεντρο τριγώνου και $D\equiv CO\cap AB,F\equiv BO\cap AC,E\equiv DF\cap BC$
Αν η συμμετροδιάμεσος του τέμνει τον ( στο να δείξετε ότι $KE\perp KA$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Την έβαλα εδώ γιατί η λύση που έχω είναι λίγο σύνθετη,αν προκύψει κάτι απλό ....

Αφού δώσω τα εύσημα στο εισηγητή και στον λύτη ας δούμε λίγο διαφορετικά( και με ταλαιπωρία) το θέμα.

Προσωρινά «αγνοώ» τη συμμετροδιάμεσο του $\vartriangle ABC$ που διέρχεται από το

.

Φέρνω την ευθεία

που τέμνει την

στο σημείο

και τον κύκλο στο

.

Η ευθεία αυτή , έστω $\zeta$ , είναι η πολική του

ως προς τις δύο ευθείες AB,AC

.

Η τετράδα : $\left( {B,C\backslash T,E} \right)$ είναι αρμονική με συνέπεια η πολική του

, ευθεία $\varepsilon$

ως προς το κύκλο $\left( {A,B,C} \right)$ να διέρχεται από το

.

Ας είναι τώρα

το άλλο σημείο τομής του κύκλου $\left( {A,B,C} \right)$ με την

..

: Καθετότητα Φωτιάδη_1.png (36.29 KiB) Προβλήθηκε 979 φορές

Φέρνω τώρα την ευθεία

και τέμνει την

στο

και την ευθεία $\varepsilon$ στο

.

Επειδή η πολική του

ως προς τον κύκλο διέρχεται από το

και η πολική του

θα διέρχεται από το

κι αφού διέρχεται από το

είναι η ευθεία $ET\,\,$ δηλαδή η

.

Επομένως η

θα είναι κάθετη στη

, άρα και μεσοκάθετος σ αυτή, οπότε οι

$SC,\,SB$ είναι εφαπτομένες του κύκλου , η τετράδα $\left( {A,K\backslash M,S} \right)$ είναι αρμονική

και η ευθεία

η συμμετροδιάμεσος από το