mathematica.gr

Δίνεται τραπέζιο εγγεγραμμένο σε κύκλο και το έγκεντρο του τριγώνου

Αν είναι το σημείο επαφής του κύκλου με την και η τέμνει τον στο να δείξετε ότι η

διέρχεται από το μέσο του τόξου

Έστω , τα μέσα των τόξων , του κύκλου αντίστοιχα.
Έστω επίσης το αντιδιαμετρικό του στον εγγεγραμμένο κύκλο του .
Τότε, από γνωστό πρόβλημα η ευθεία τέμνει τη στο σημείο , στο οποίο ο
παρεγγεγραμμένος κύκλος εφάπτεται της . Ως εκ τούτου, ,
δηλαδή, το μέσο του είναι και μέσο του .
Συμβολίζουμε με το σημείο τομής των ευθειών και .
Οι , είναι συμμετρικές ως προς τη . Ως εκ τούτου, το σημείο τομής των ,
και , οπότε το μέσο του , οπότε και , δηλαδή, το παραλληλόγραμμο,
και εφόσον , δηλαδή, το ορθογώνιο, οπότε . Στη συνέχεια, λόγω της παραλληλίας είναι ,
και (ως εγγεγραμμένες που βαίνουν στο ίδιο τόξο του ).
Επομένως, το είναι εγγράψιμο, οπότε, εφόσον , τότε και .
Αλλά και , δηλαδή, τα σημεία , και ανήκουν στην ίδια ευθεία.