Πρωταρχικές Πυθαγόρειες τριάδες
Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2
-
- Δημοσιεύσεις: 413
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 01, 2010 2:07 pm
Πρωταρχικές Πυθαγόρειες τριάδες
Έστω μια πρωταρχική Πυθαγόρεια τριάδα (δηλαδή μια της οποίας οι όροι είναι σχετικά πρώτοι μεταξύ τους). Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν θετικοί ακέραιοι με ώστε .
Νίκος Αθανασίου
Μεταδιδακτορικός ερευνητής, τμήμα μαθηματικών- Πανεπιστήμιο Κρήτης
Μεταδιδακτορικός ερευνητής, τμήμα μαθηματικών- Πανεπιστήμιο Κρήτης
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Πρωταρχικές Πυθαγόρειες τριάδες
Μεnickthegreek έγραψε: ↑Πέμ Φεβ 04, 2021 10:27 pmΈστω μια πρωταρχική Πυθαγόρεια τριάδα (δηλαδή μια της οποίας οι όροι είναι σχετικά πρώτοι μεταξύ τους). Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν θετικοί ακέραιοι με ώστε .
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15779
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Πρωταρχικές Πυθαγόρειες τριάδες
Σωστά, αλλά αυτό είναι προφανές αφού ο θεματοθέτης έχει θέσει ως συνθήκη ότι οι όροι της τριάδας είναι σχετικά πρώτοι.2nisic έγραψε: ↑Παρ Φεβ 05, 2021 7:23 amΜεnickthegreek έγραψε: ↑Πέμ Φεβ 04, 2021 10:27 pmΈστω μια πρωταρχική Πυθαγόρεια τριάδα (δηλαδή μια της οποίας οι όροι είναι σχετικά πρώτοι μεταξύ τους). Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν θετικοί ακέραιοι με ώστε .
Ας ασχοληθούν οι μαθητές μας που δεν γνωρίζουν ήδη την απάντηση. Η ίδια πάντως υπάρχει σε όλες τις Θεωρίες Αριθμών. Όταν κλείσει το θέμα θα δώσω παραπομπή στην παλαιότερη (εννοείται αρχαία Ελληνική) πηγή όπου υπάρχει πλήρης η απόδειξη. Περιέργως δεν είναι τόσο γνωστό το χωρίο παρ' όλο που είναι σε ιδιαίτερα πολυδιαβασμένο κείμενο.
Re: Πρωταρχικές Πυθαγόρειες τριάδες
Προφανώς ένας από τους είναι άρτιος και οι άλλοι περιττοί.
Έστω τότε:
Αν αδύνατο αφού .(διότι και ο είναι πρώτος)
Αρα και οπότε: αλλά άρα .
Οπότε υπάρχουν τέτοιοι ώστε που δίνει , με αντικατάσταση έχουμε
Υπάρχει και ποίο απλή λύση.
Έστω τότε:
Αν αδύνατο αφού .(διότι και ο είναι πρώτος)
Αρα και οπότε: αλλά άρα .
Οπότε υπάρχουν τέτοιοι ώστε που δίνει , με αντικατάσταση έχουμε
Υπάρχει και ποίο απλή λύση.
τελευταία επεξεργασία από 2nisic σε Πέμ Απρ 22, 2021 8:31 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15779
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Πρωταρχικές Πυθαγόρειες τριάδες
Είναι στα Στοιχεία του Ευκελίδη, Βιβλίο Χ, Πρόταση 29.Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Παρ Φεβ 05, 2021 7:45 amΌταν κλείσει το θέμα θα δώσω παραπομπή στην παλαιότερη (εννοείται αρχαία Ελληνική) πηγή όπου υπάρχει πλήρης η απόδειξη. Περιέργως δεν είναι τόσο γνωστό το χωρίο παρ' όλο που είναι σε ιδιαίτερα πολυδιαβασμένο κείμενο.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Πρωταρχικές Πυθαγόρειες τριάδες
Η πιο απλή λύση στην οποία αναφέρεται ο Διονύσης είναι ουσιαστικά αυτή που δίνει σε παρόμοιο πρόβλημα ο Αλέξανδρος εδώ.
Αν πούμε ότι ο Διονύσης το έλυσε χρησιμοποιώντας πύραυλο (Αλγεβρική Θεωρία Αριθμών) τότε στον πιο πάνω σύνδεσμο μπορείτε να δείτε και μια λύση με πυρηνικό οπλισμό. (Με Θεωρία Galois. Εντελώς ακατάλληλη για μαθητές.)
Αν πούμε ότι ο Διονύσης το έλυσε χρησιμοποιώντας πύραυλο (Αλγεβρική Θεωρία Αριθμών) τότε στον πιο πάνω σύνδεσμο μπορείτε να δείτε και μια λύση με πυρηνικό οπλισμό. (Με Θεωρία Galois. Εντελώς ακατάλληλη για μαθητές.)
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες