Διοφαντικη εξίσωση (x^2+2y^2=z^2)

MathSc · #1

Χαίρετε! Προσπαθώ αυτή τη διοφαντική εξίσωση αλλά έχω κολλήσει και θα ήθελα κάποια λύση / υπόδειξη. Κάθε βοήθεια είναι χρήσιμη. Ευχαριστώ πολύ!
Ασκηση :

$\displaystyle{ x^{2}+2y^{2} = z^{2} }$

Θα βοηθούσε να θέσω $\displaystyle{ \sqrt{2}y = w }$ και να παρω λύσεις για πυθαγορειες τριαδες; Ή μήπως να δημιουργήσω την $\displaystyle{ x^{2} + y^{2} = w^{2} }$ και να εχω το σύστημα

$\displaystyle{ x^{2} + y^{2} = w^{2} }$

$\displaystyle{ w^{2} + y^{2} = z^{2} }$

#2

Κάνεις τα εύκολα, δύσκολα.

MathSc έγραψε: Τρί Δεκ 04, 2018 7:25 pm Θα βοηθούσε να θέσω $\displaystyle{ \sqrt{2}y = w }$ και να παρω λύσεις για πυθαγορειες τριαδες;

Όχι βέβαια. Τα $\sqrt 2 w$ είναι άρρητοι αριθμοί, οπότε για ποιες Πυθαγόρειες τριάδες συζητάμε;

MathSc έγραψε: Τρί Δεκ 04, 2018 7:25 pm ... Ή μήπως να δημιουργήσω την $\displaystyle{ x^{2} + y^{2} = w^{2} }$ και να εχω το σύστημα

$\displaystyle{ x^{2} + y^{2} = w^{2} }$

$\displaystyle{ w^{2} + y^{2} = z^{2} }$

Όχι βέβαια. Χάνουμε λύσεις γιατί δεν έπεται ότι μία λύση (x,y)

της δοθείσας έχει σώνει και καλά x^2+y^2

ίσον τέλειο τετράγωνο (πέρα από την x^2+2y^2

ίσον τέλειο τετράγωνο). Π.χ. η λύση x=1, y=2, x=3

της αρχικής, δεν ικανοποιεί 1^2+2^2

ίσον τέλειο τετράγωνο.

Κάνε άλλη μία προσπάθεια χωρίς αυθαιρεσίες στα βήματα.

MathSc · #3

Βρήκα λύσεις της μορφής $\displaystyle{ (z,y,z)=(d,2d,3d), d\in \mathbb{R} }$ αλλά πολύ διαισθητικά. Δεν ξέρω πως θα την έγραφα σωστά την άσκηση..

#4

Η παρακάτω διαδικασία είναι κλασική για διοφαντικές εξισώσεις όπως αυτή που δόθηκε και η αντιμετώπιση παρόμοια.

Οι μόνες λύσεις με κάποιους από τους (x,y,z)

να είναι

είναι οι

. Ας υποθέσουμε λοιπόν παρακάτω ότι $xyz\neq 0$ .

Προφανώς αν (x,y,z)

είναι λύση τότε όλες οι τριάδες $(\pm x,\pm y, \pm z)$ είναι επίσης λύσεις. Συνεπώς μπορούμε να αναζητήσουμε τις λύσεις (x,y,z)

στους θετικούς ακεραίους.

Αν επίσης d=(x,y,z)

τότε

με

και η εξίσωση γίνεται x_1^2+2y_1^2=z_1^2

δηλαδή ίδιας μορφής με την αρχική αλλά πλέον με (x_1,y_1,z_1)=1

. Οι

πρέπει να είναι ίδιας αρτιότητας όμως δεν γίνεται να είναι και οι δύο άρτιοι γιατί τότε ο y_1

είναι επίσης άρτιος, άτοπο. Άρα x_1, z_1

περιττοί, συνεπώς $x_1^2\equiv z_1^2\equiv 1 \pmod{4}$ . Έτσι 4|2y_1^2

κι έτσι

οπότε η εξίσωση γράφεται

$(z_1-x_1)(z_1+x_1)=2y_2^2 \ (1)$

Αν (x_1,z_1)>1

και

ένας περιττός πρώτος διαιρέτης των x_1,z_1

τότε πρέπει p|2y_1^2

δηλαδή

, άτοπο. Άρα (x_1,z_1)=1

.

Συνεπώς η (1)

γράφεται: $\dfrac{z_1-x_1}{2}\cdot\dfrac{z_1+x_1}{2}=2y_2^2$ με $\left(\dfrac{z_1-x_1}{2},\dfrac{z_1+x_1}{2}\right)=1$

Έτσι παίρνουμε τα εξής συστήματα:

$\begin{cases} \dfrac{z-x}{2}=m^2 \\ \\ \dfrac{z+x}{2}=2n^2 \\ \\ y_2=mn \end{cases}$ και $\begin{cases} \dfrac{z-x}{2}=2m^2 \\ \\ \dfrac{z+x}{2}=n^2 \\ \\ y_2=mn \end{cases}$

απ' όπου τελικά οι θετικές πρωταρχικές λύσεις είναι οι $(x,y,z)=\left(|2n^2-m^2|,2mn,2n^2+m^2\right)$ συνεπώς όλες οι θετικές λύσεις είναι οι

$(x,y,z)=\left(k|2n^2-m^2|,2kmn,k(2n^2+m^2)\right)$ όπου $k,m,n\in\mathbb{Z}^{+}$ καθώς και οι αντίστοιχες που αναφέρθηκαν στην αρχή.

Αλέξανδρος

#5

Μιας και μπήκε στο ΑΕΙ ας δούμε και μια λύση με το Hilbert Satz 90.

Αντί του ζητουμένου, θα βρούμε όλες τις ρητές ρίζες της a^2 + 2b^2 = 1

. Δεν είναι δύσκολο να μετακινηθούμε μεταξύ των δύο.

Θεωρούμε την επέκταση $\mathbb{Q}(i\sqrt{2})$ υπέρ του $\mathbb{Q}$ . Είναι κυκλική επέκταση με γεννήτρια την $\sigma : \mathbb{Q}(i\sqrt{2}) \to \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ που στέλνει το $x+iy\sqrt{2}$ στο $x-iy\sqrt{2}$ .

Επειδή $N(a+ib\sqrt{2}) = (a+ib\sqrt{2})(a-ib\sqrt{2}) = a^2+2b^2$ από το Hilbert Satz 90 υπάρχουν $c,d \in \mathbb{Q}$ ώστε

$\displaystyle a+ib\sqrt{2} = \frac{\sigma(c+id\sqrt{2})}{c+id\sqrt{2}} = \cdots = \frac{c^2-2d^2}{c^2+2d^2} - \frac{2cd}{c^2+2d^2} i \sqrt{2}$

Δηλαδή υπάρχουν $c,d \in \mathbb{Q}$ ώστε

$\displaystyle a = \frac{c^2-2d^2}{c^2+2d^2} \quad \text{\gr και} \quad b = - \frac{2cd}{c^2+2d^2}$

Διοφαντικη εξίσωση (x^2+2y^2=z^2)

Διοφαντικη εξίσωση (x^2+2y^2=z^2)

Re: Διοφαντικη εξίσωση (x^2+2y^2=z^2)

Re: Διοφαντικη εξίσωση (x^2+2y^2=z^2)

Re: Διοφαντικη εξίσωση (x^2+2y^2=z^2)

Re: Διοφαντικη εξίσωση (x^2+2y^2=z^2)

Μέλη σε σύνδεση