mathematica.gr • εξίσωση με παραγοντικό

Σελίδα 1 από 1

εξίσωση με παραγοντικό

Δημοσιεύτηκε: Παρ Οκτ 08, 2010 12:22 am

από socrates

Να λυθεί στους θετικούς ακεραίους η εξίσωση: x!=x+y+xy

x!=x+y+xy

.

Re: εξίσωση με παραγοντικό

Δημοσιεύτηκε: Παρ Οκτ 08, 2010 1:00 am

από Nick1990

socrates έγραψε:Να λυθεί στους θετικούς ακεραίους η εξίσωση: .

Ισοδύναμα:

x! + 1 = (x + 1)(y + 1)

x! + 1 = (x + 1)(y + 1)

Αν

x=1

η

x=2

τοτε

y=0

άτοπο.
Αρα x>2

x>2

και αν

x+1

σύνθετος, τότε υπάρχει πρώτος 1<p<x+1

1<p<x+1

που διαιρεί τον x+1

x+1

, ομως αυτός εμφανίζεται στο παραγοντικό του

, οπότε παίρνοντας modp

modp

προκειπτει: 1 = 0(modp)

1 = 0(modp)

, άτοπο.
Άρα πρέπει x+1 = q

x+1 = q

να είναι πρώτος.
Αν q = x+1

q = x+1

ειναι πρώτος με x>2

x>2

, τότε θα είναι q = x+1 > 3

q = x+1 > 3

, και τότε απο το θεώρημα Wilson:
x+1 = q | (q-1)! + 1 = x! + 1

x+1 = q | (q-1)! + 1 = x! + 1

, άρα υπάρχει

θετικός ακέραιος ώστε z(x+1) = x! + 1

z(x+1) = x! + 1

.
Αν τώρα z=1

z=1

, είναι ισοδύναμα $x = x! \Leftrightarrow (x-1)! = 1 \Leftrightarrow x \in {1,2}$ , άτοπο.
Άρα $z > 1 \Leftrightarrow y = z - 1 > 0$ και το ζεύγος (x, y)

(x, y)

επαληθεύει.
Οπότε λυσεις ειναι τα:
$(x,y) = (p-1, \frac{(p-1)! + 1}{p} - 1)$ , για κάθε p > 3

p > 3

πρώτο.